第三章----单自由度有阻尼系统的振动.docx

令P2=-,2=£,那么上式可简化为mmx+2nx+p2=O(3-1)这就是有明足自由振动微分方程.它的解可取r=e",其中S是待定常数。代入(3-1)式得(s2+2fs+p')e'1=0.要使所有时间内上式都能湎足，必须H+2"S+=0,此即微分方程的特征方程，其解为s1.2=-n±n2-p'(b)于是微分方程(3-1)的通好为X=W+9=匕/7777+qeB，)(3-2)式中待定常数C1.与C2决定与振动的初始条件.振动系统的性质决定于根式¢1-是实数、零、还是虎数。对应的根立与$2可以是不相等的负实根、相等的负实根或夏根.假设S1.与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阳尼系数，记为Q,即Cc=2mp0引进一个无琏纲的盘，,称为相对阻尼系数或阻尼比.=n!p=cHmp=dce(3-3)当n>p或6>1.根式J"-/足实数,称为过阻尼状态，当n<p或，V1.根式Jz-不足式数，称为弱阻尼状鱼，当n=p,即，=1.称为临界阻尼状态.现分别讨论三种状态卜的运动特性，1 .过阻尼状态此时<>1，即j-p2<n,(b)式中S1.及H均为负值,那么e"及e'y是两根下降的指数他戏，故(3-2)式所表示的是两条指数曲线之和,仍按指数衰减,不是振动.图3-2所示为c>c2,c<0时的情况.2 .临界阻尼状态此时¢=1.(b)式中S1.=SJ=-n=-p.特征方程的根是重根，方程(3-1)的另一解将为3巴故微分方程(3-1)的通解为(C)X=(C1.+C2t)Cp,式中等号右边第一项ceK是一根下降的指数由践，笫：项瓶么可应用麦克劳林级数展开成以下形式：从上式看出.当时间I增长时第二项CMem也趋近于零。因此(C)式表示的运动也不是振动.也是一个逐渐回到平衡位置的柞周期运动。3 .弱阻尼状态此时p>n.或，<1。利用欧技公式可将(3-2)式改写为或X=Aen,sin(yp:-n2t+)(3-4-1)令Pa=VP2-W2加么X=A1.Sin(P/+¢0(3-4-2)式中A与。为特定常数,决定于初始条件.i殳I=O时，x=x<1,X=X1,那么可求得A=tg-'丁如一(3-5)VPd%+叫招A与0代入(3-4-1)式,即可求得系统对初始条件的响应，由式(3-4-1)可知,系统振动已不再是等帕的简谐振动，而是振幅被限制在曲线A"u之内随时间不断衰减的衰减振动。如图33所示。这种衰减振动的固有If1.I频率、固有频率和冏期分别为大中pTT是无阻尼自由振动的固有圆耀率、Ia有频率和周期.由上可见，瓦尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的朋期增大、颇率M小,但在一般工程向题中n那比P小得多，属于小阻尼的情况。例，=np=0.05时,G=09990f,Td=1.OO125T;而在¢=0.20时，fd=0.98f,Td=1.02T,所以在阻尼比拟小时，阻尼对系统的固有频率和同期的影响可以略去不计,即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等.另一方面,WI尼对于系统振动振他的影响非常显著,国尼使振幅陋岔时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=h时，Ai=Acrt1:t=t1.+T,1.W,A2=Aef%:0+2Td时,Aa=Ae-M=D而相邻两振幅之比是个常数.即1 =AJA*=e"T4(3-6)式中n称为诚幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示网尼越大，振幅衰减也越快.当¢=0.05时，q=1.37,A2=A1ZI.37=O.73At,每一个周期内振幅减少27%,振翅按几何级数衰M，经过10次振动后，振幅将减小到初他的4.3%。可见，衰M是非常显著的。在工程上，代入以上两式.得A=1.25cm.tg即0=53"1O'所以X=1.2次WISin(43+0.928)例3-2)设阻尼系数为C=INMm,其余数据同上例，试求对数减幅6,并估计使振幅W小到初始值的1%所需的次数及时间。1V98。=0b=g=0628298×50振动次数j='1."A=1.工100=7.4V8A*80.628所需时间t=jT1=-<=1.01sPWp50I例3-3有阻足弹簧质Ift系统中,物块重98N.弹簧刚度k=7Nkm,明尼系数C未知.如果测得幅值为每循环衰减率为10%.求阻尼系数C.解：<y=(4y41)=(1/0.9)=0.105,m=98,98(M).1、由(3-8)式得=t47+77=0.105/42+(0.105)2=0.0167Ns/cm所以C=2n=2<疯=2×0.0167().1×7=0.0279Ns/cm.3-3在简谐激扰力作用下的强迫振动单自由度粘性阻尼系统强迫振动的力学模型如图34所示.设系统中除了彳i弹性饯爱力及阻尼力作用外,还始终作用着一个简谐扰力F(I)=FftSi1131,其中3为激扰频率.由牛顿运动定律,直接写出系统的运动微分方程为：>r+ci+kx=Fnsina)t(3-1.)令P2=1.o'n,2n=o'm.q=Fm-那么(3-11)式可改写为以下形式X+2nx+p2x=sin(M(3-12)方程的通解由两局部组成。即其中Xi为齐次方程的通解，XNO为方程(3-12)的特解,在弱阻尼情况下,通解为(3-4)式，即1()=Aen,sin(,p,-n'r-t-)因为方程(3-12)的非齐次底为正弦函数，故其特解为简谐函数，旦其频率与非齐次项的正茏x=Aea,Jpt-n2cos(Jp2-n2t+)-wsin(Jp2-n2f+?)+sin<>jc将初始条件代入,有可求得所以,运动方程为例3-5如图3-4所示振系，物块立980N.弹簧刚度K=900Ncm,阻尼系数C=24NWcni,铅垂向扰力F=9Osin3iN,求:(1)在<>=P时的振陈使振幅有极大值时的扰频3及B/B。解：振系的同行城率p=7m=9798798=30s,在3=P时，B=EJ(P=90/(24X3()=0.125cm,使振帼存极大值时扰频为,=y-22p,其中C=c2nt=24x980298030=0.4故f=-2(0.4)2×30=24.71/S振福的最大值为Br=F0cpy-2,I例3-6如图3-8所示的振系在激扰力Fein31作用下，求系统的角振幅，假定杆OA为刚杆OA在激扰力矩H,kin3t作用下产生简谐振动0=Bsin(3"巾)IRttS3-4偏心质量所引起的强迫振动在扰转机械中,出于偏心质量所引起的强迫振动是极为普遍的现象，以下讳论这类振动现具有儡心质录的旋转机械力学模型如图3-9所示，设旋转机械的质畸为m,转子的鲂玳为m,儡心即为e,转动角速度为弹簧刚度为k,阻尼器阻尼系数为c。现只研究机器在垂11方向的振动.设机器位移为X(从静平衡位置算起.为正)，偏心质量mi的位移为Xyin3(,由动理，系统的振动方程可写成("1-in.+m.(x+esinruf)dfdr,ix=-kx-cdfWmx+cr+kx=m1e2sin(321.)这就是机器在转手离心力作用下的运动微分方程.方程的稳态解为其中振幅B=nie2/y(k-tn2)2+(c()2(3-22)相知tg=c/k-m)(3-23)(3-23)式写成无盘纲形式引用记号p=I7m.=d1.mp.=.招(3-22).nB!me=Ar/(1-2)2+(2X)2=22/7(3-24)tg=2k!(3-25)(3-24)式中B即放大因子。以mBme为披坐标、X为横眼标、，为参变量,由大(3-24)做出图3-10.因方程(3-25)与方程(3-16)完全相同,故中的曲线与图3-7一样.由式(3-24).(3-25)及图3-10、图37,得到偏心质量所引起的强迫振动特征如下.1)<<1.(<<P)时.激扰力帼值m©3,很小.图3-10振帼很近于零.相角中亦近于零：2>当人>>1(3>P)时，入趋近于1.侦量(m-111)的振幅趋近于mgm,相角趋近于18*3)当A=I(3=P)时,放大因子夕=J二.质量(m：的振幅B-,与e2S1.相角2-90".系统提柏受到阻尼的限制；4)当阻尼很小时,振幅很大，这就是共振现象,支承上再通过弹簧和阻尼器才使质猿产生相应的运动.例如地基的振动引起机湍的振动,机器的振动引起仪潺的振动，汽车帙过不平的路面而产生的振动等，现就图3-13所示的单自由度系统受根底激扰的力学模型，研究支承运动引起的强迫振动.设支承运动X,="sin阴，其中a为运动的幅值，为频率。取质量块研究，其位移以坐标X表示。取系统平衡时的位置为坐标原点。那么当质量块离开平衡位置的距离为X时，弹簧的变形应为x-x”而旗曲块与支承的相时速度那么为土-尤,从而在质注块上作用有弹赞恢复力k(x-s)和阻尼力d±-i,)°按牛顿定律，建立振动微分方程式rnx=-k(x-xs)-c(x-x.)（八）或mr+ci+kx=kx,+c,(3-31)把相、女,伯代入式(3-31)中.寿nix+<i-+x=AaSin(ot+CftwC($32)此式说明.作用在系统质批m上的激扰力由两局部组成：一局部是弹簧传给防Iftm的力Ausinwf.另一局部是阻尼寄传给质Stm的力Ceos”.两者可令成为：其中=y(kci)+(cMi)'=a-Jk2+c22.a=tg'ck(b)于是微分方程(3-32)可写成tnx+ar+kxa>1.k2+c22sinUt#+a)(3-33)可见，方程(3-33)和方程(3-11)在形式上是一样的，所以方程(333)的稔态解可表示为=Bsm(cut-)其中振福B及相角.可应用33节的方法类似地求出为B=J=Jgqm(3-34)y(k-m2)2c22(1.-2)2+(2X2)mc22，'，Ce-RW=；7=5-(3-3J)火(火一/war)+1.4-十(期).线设以人为横坐标，夕=0为纵坐标，4为参变房,那么可根据(3-34)式作出如图3-14所a示的临翔响应曲线.从图可以看出，在/I=J1.时，恒彳j=i,即无论多大阻尼，系统的振幅B均等于支掠运动的振幅a：当人>点时，/V1.,振闱R小于支撑运动的振幅a,而且阻尼大的系统比阻尼小的系统的振幅反而要稍大些；当久>>I时，强迫振动的振福的近于零，这就是说支座的运动并不传递到物体m上，这,特性在研究隔振和测振时是很干j用的，图314从此例及图3-10可以看出.只要人在2.5以上，且系统的阻尼足婚大（二065-（）.71时.y（七a。测抿仪指计指示的数值就是振动勃体的位移,而质量m的位移x三=01也就是利振仪工作时,质埴几乎不动）这就是位移计的工作原理。位移计要求本身的固有频率低，从而使A=3/p可以足够大，所以位移计是一种低固有频率的仪器。振幅yo可改写成如下形式；式中Aa一振动物体加速度幅值，当很小（!J/P-0）时yo=务.测报仪指针指示的数值与振动物体的加速度幅优成正比.这就超加速度计的工作原理.加速度计要求