概率知识点整理及其相关习题解析-二.docx

概率知识点整理及其相关习题解析二概率知识点整理及其相关习题解析二1 .将n只球随机地放入N(NNn)个盒子中去，试求祗个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容必不限).解：将n只球放入N个盒子中去，每种放法是一基本事件.易知，这是古典概率问题，因每一只球都可放入N个盒子中的任一盒子,故知共有N×N×.XN种不同的放法，而每个盒子中至多只球共有N(NT).NTn-I)种不河放法,因而所求的年率为p=N(N-1).(N-n+1.)(N'n)=N!(n!(N-n)!(N'n).知识点：古典概率.古典概率t等可能概型】特点：*1试船的样本空间只包含有限个元素；*2试盼中每个基本事件发生的可能性相同。2 .设有N件产品,其中有D件次品,今从中任取n件，问其中恰有k(kSD)件次品的概率？解:在N件产品中抽取n件(这里指不放回抽样),所有可能的取法共有CnN上标n下标】种,每种取法为一基本事件,且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同,又因在D件次品中取k件，所有可能的取法有CkD种，在N-D件正品中取n-k件所有可能取法有Cn-kN-D种，曲乘法原理知在N件中取n件，K中恰好有k件次品的取法共有CkDCn-kN-Dft,十是所求概率p=CkDCn-kN-DCnN知识点：乘法原理，超几何概率。3 .在200。的整数中随机取数，问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率？解：设A为事件”取到的效能被6整除B为事件“取到的数能被8将除”,则所求概率为；P(!A!B)=P(!(AUB)J=I-P(AUB)【！A为A非，A+B为A与B的和事件】=1-P（八）+P(B)-P(AB)由于333<20006<334,故得P(R)=333/2000.由于2000/8=250,故得P(AB)=83/2000,于是所求的概率为p=1.-(333/2000250/2000-83/2000)=3/4.4 .将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问1)每个班级各分配到一名优秀生的概率23名优秀生分配在同一班级的概率解：15名新生平均分配到三个班级的分法总数：C515C510C55=15!(5!5!5!)年种分配法为一基本事件，且由对称性身知每个基本事件发生的可能性相同.I)将3名优秀生分配到三个班级使杼个班级都有一名优秀生的分法共3!种,对于每一分法，其余12名新生平均分配到三个班级中分法共有12!(4!4:4!)种，因此，每一班线各分配到一名优秀生的分法共有3!12"(4!4!4!)种.于是p=3!12!(4!4!4!)(15!(5!5!5!)=2591.2)将3名优秀生分配到同一班级的分法共有3种，对丁每种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名,另俩班级各5名)有12!(2!5!5!),因此3名优秀生分配到同一班馒的分法共有3:12!(2!3!5!),于是所求概率为p=3!12!(2!5!5!)(15!(5!5!5!)=6915 .(小概率事件)某接待站在某周曾接待过12次来访，已知所有12次来访都在周二周四进行的，问是否可推断接待时间是又规定的？解：假设接待站的接待时间没规定,而各次来访在一周的人一天去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都是在冏二周四的概率为2'12/7'12=0.0000003.人鲂在长期的实践中总结得到“概率很小事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”【实际推断原理】.现在概率很小的事件在一次试脸中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接带时间有规定.6 .在11张卡片上分别写上ProbabiIity这I1.个字母,从中任意抽取7张求其排列结果为abi1.ity的概率。解：a.E：自H个字母中附机接连抽7个字母并，依次序列,将II个字母中两个b看成可分辨的,两个i也看成可分辨的N(三)=A也看成1.以A记事件“排列结果为abi1.ity”，则N（八）=4(因b有两种取法,i也有两种取法3因而P（八）=N（八）/N(三)=4A71.1.=2.4×1.O(-6).b.以A1.B2.13,IA,15.T6,Y7依次表示取得字母小b,i,1,i,I,y各事件则所求概率为P(A1B2131.115T6Y7)=P(A1)P(B21A1)P(13A1B2)P(1.4A1B2I3)P(I5A1.B2I31.4)P(T6A1B2I31.4I5)P(Y7A1B2I31.4I5T6)=(111)(2/10)(2/9)(1/8)(1/7)(1/6)(15)=4A711注意：在解法a中仅当将两个i看成可区分，两个b若成可区分的，才属于占典概型问题.【乘法定理】设P（八）X),则有P(AB)=P)BAJP（八）设A,B.C为事件,且P(AB)>0,则有P(RBC)=P(C1.AB)P(B1.A)P（八）.在这里,注意到由假设P(AB>>0,可推得P（八）P(AB>>0.7 .某种产品的商标为(WAXAM),技中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放人可后仍为(MAxAM)的概率.解：以H1.,H2,H3,HbH5依次表示事件“脱落M,M”“脱落A,A”“脱落X.""脱落X,M”以G表示事件“放回后仍为MAXAM"，所需求的是P(G).可知I1.1.,112.H3.114.H5两两不相容,且H1.,112.H3.114.H5为S的一个划分.P(H1)=C22C25=1.10.P(H2)=C22C25=1.1.0,P(H3)=C1.2C1.2C25=410,P(H4)=C1.1.C1.2C25=210.P(H5)=C1.1C12C25=2/10,而P(GIH1.)=P(G1.H2)=1.P(GH3)=P(GIHD=PgIH5)=1/2.由全概率公式得：P(G)=(5,i=DP(GHi)P3i)=("10)+(1.1.0)+(2K)Hu10)+U10)=35.知识点：全概率.设S为试验E的样本空间，B1.,B2Bn为E的一组事件，若(i)BiBj=,ij,j=1.,2,.,n(ii)B1.B2U.UBn=S1称为BI.B2.Bn为样本空间S的一个【划分】.设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,.Bn为样本空间S的一个划分.且P(Bi)>(Hi=1.,2n),WJ全概率公式：P（八）=P(AB1)P(BI)÷P(AB2)(B2)+.+P(A1.Bn)(Bn).8.将A,B,C三个字母之输入信道输出为原字母的概率为a,而输出为其他一字母的概率都是(1.-a)2,今将字母小AAAA1BBBB1CCCCZ输入信道，输入AAAA1BBBB,CCCC的概率分别为P1.p2,p3(p1.+p2+p3=1.),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率？(设伯道传输各个字母的工作是相互独立的).解：以AhB1.C1.分别表示事件“输入RAAA"”输入BBBIr”输入Oxr以D去示事件"输出ABCA二因事件A1.B1.C1.两两互不相容,且有P(A1.UB1.UC1.)=P(A1.)+P(B1.)+P(C1.)=p1.+p2+p3=1.,因此全概率公式和贝叶斯公式可使用，由贝叶斯公式有P(A1.DJ=P(A1.D)ZP(D)=P(DA1.)p1.P(DA1.)p1.+P(DB1.)p2(DC1.)p3输入为AAAA(即事件A)输出为ABCA(即享件D)时，有两个字母为原字母，另两字母为其他字母,所以P(DA1.)=a>2(1.-a)2)2,同理,P(D1.B1.)=P(DICD=a(1.-a)/2)3.代代入上式并注意到p1.+p2+p3=1.,得到P(A1.D)=2ap1.(3a-1.)p1.H-a.知识点：全概率公式和贝叶斯公式，独立独立：设A,B是两事件,若满足等式P(AB)=P（八）P(B)称事件,B相互独立.简称A.B独立.定理一设A,B是两事件，且P（八）>O若A,B相比独立,则PBA)=P(B反之亦然，定理二若事件A,B相互独立，则下列各对事件也相互独立；A与/B,/A与B,/R与/B。定义谀A,B,C是三事件,若等式P(AB)=P（八）P(B),P(BC)=P(B)P(C)1P(AC)=P（八）P(C),P(ABC)=P（八）P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立。9.设随机试验的样本空间为S=e).X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,称X=)Ue)为随机变量.严格地说,“对于任意实数X,集合eX(e)WxN即,使得X(e)Wx的所有样本点e所组成的集合)有确定的概率”OhD分布设随机变StX只可能取。与1两个值，它的分布律是PX=k)=pk(1.-p)(1.-k),k=O.1.(0<p<1.).X01pk1-pP二项分布(贝努力试验)WB(n,p)试验E只有两个可能结果：A及/A,称为E为贝努力(BernOUI1.D试验.设P（八）=P(O<p<1.).此时P(A)=1.-p.在n次试验中A发生k次的概率为C(k.n)p-k(1.-p)(xk).记q=1.”即有P(X=k)=C(k,n)pkq'(n-k),k=O,1,2.,n随机变mX服从参数n,P的二项分布.泊松分布xn(入)(P(X)PX=k=*kc*(-)k!,k=O,1,2泊松定埋设>0是一常数，n是任意正整数,设npn=入,则对于任一固定的非负整数k.有nkn-kkIimCkPn(1-Pn)=Ae-X/k!n-co定理的条件nPn=(常数)意味着当n很大时.Pn必定很小.分布函数设X使的机变状，X是任意实数,函数F(X)=PXWx>,-8<x<8对任意实数x1.,x2(x1.<x2),有Px1.<Xx2>=P(XWx2-PXWx1.)=F(xD-F(x2).基本性即1.F(X)是一不收函数对于任意实数x1.,x2(XkN2),有F(x2)-F(x1.)P(x1.<Xx2)>O2OWF(X)WI,且F(-)=0,F()=1.3°F(x+O)=F(x),即F(X)是右连续。概率密度若对于随机变tX的分布函数F(x),存在：1.E负函数f(),使对于任遨实数X有F(X)=J"(x,-8)f(t)d1.f()称为X的概率密度函数，简称概率密度，性质：rf>o:2°f(»,-o)f(x)dx=1.:3。对任意实数x1.,x2(x1.x2):Px1<Xx2=F(x2)-F(x1)=；(x2,X1)f(x)dx：4°若f(x)在点X处连续，则有F(x)=f(x)连续性随机变址中，可不必区分区间的开闭，即PX=a=Q.若A是不可能事件，则有P（八）=O;反之若P（八）=O,并不一定意味A是不可能事件.Ia均匀分布XU(a,b)概率密度函数为：1.(b-a),a<x<bf(x)=1.,其他分布函数为：O,x<a,F(x)=(-a)(b-a),ax<b,1.xb.20指数分布XE(A)：e-x,>Of(x)=O,其他.(入>0常数)分布函数：1.-e-x,>0