近世代数期末考试试卷及答案.docx
一、单反选样邈(本大超共5小港，每小/3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码块写在题芯的括号内。错选、多选或大选均无分。1、谈G有6个元素的循坏群，a是生成元，则G的子柒()是子群。A、B,MC、卜"；D、卜""'12、下面的代数系统(G,*)中,()不是群A、G为整效集合，*为加法B、G为偶我集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3,在自然激集N上，下列哪种运算是可结合的？()A、a*b=a-bB、a*b=maxla.bC,a*b=a+2bD.a*b=a-b|4,设丐、='是三个置换，其中6=(12)(23)(13),2=(24)(14),%=(1324).Jl严=()A、f2B、',JC、D.5、任意一个具有2个或以上元的半群，它()。A、不可能,是群B,不一定是蜉C、一定是群D、量交接群二、埴空题(本大飕共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正碉答案。错填、不填均无分。1,凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群G中的元素”的阶等于50.则/的阶等于。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与同构O5 ,A=1.2.3B=2.5.6J那么AnB=.6 .若映射伊既是单射又是满射,财称*为.7、叫做城F的一个代数元，如果存在F的斯，凡使得0+0l+jlfa"=O«8、a是代数系婉(O)的元素,对任何XGA均成立斤。0=X,则称。为9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭：站合律成立、.10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是。三、解答聪（本大超共3小超，每小超10分，共30分）1、谀集合A=1,2,3G是A上的犬接群，H是G的子群，H=l.（12）,写出H的所有陪集。2.设E是所有他敦做成的集合，“”足依的狭法.别“”是E中的运算.（E,）是一个代数脩统，问（E,）是不是料.为什么？3、a=493,b三391,求（a,b）,a,b和p,q。四、证明起（本大题共2小题，第1题10分，第2小费15分，共25分）1、若G,*是群，则对于任意的a、bG,必有惟一的xG使得a*x=b.2,设m是一个正终数，利用m定义常数集Z上的二元关系：a-b当且仅当nda近世代数模拟试题三一、单项选择邈（本大邈共5小避,每小避3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。结选、多选或未选均无分。1, 6阶有机群的任何子群一定不是()A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、谈G是群,G有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3,有限布尔代数的元家的个数一定等于(),A、偶敷B.奇数C.4的倍数D、2的正处数次森4,下列啷个偏序集构成有界格()A、(N,)B、(Z,)C.(2,3,4,6,12,|(整除关系)D,(P（八）,)5、设S3=,(12),(13),(23),(123),532),那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A、(1),(123),(132)B,12),(13),(23)C、(1),(123)D、S3中的所有元素二、埴空题(本大港共10小题，每空3分,共30分)请在每小超的空格中埴上正确答案。错娘、不埃均无分.1、群的单位元是的，每个元索的逆元素是的。2、如果/是A与间的一一映射，。是人的一个元，«/'/(«)=3,区间1,2上的运算。6=min,切的单位元是，«4,可接群Gq，|aI=6,IX|=8,则IaXl=.5、环Z,的零因子有.6.一个子群H的右、左陪集的个数。7,从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的.8、无家因子环R中所有非察元的共同的加法院数称为R的。9、设群G中元素”的阶为，"，如果/=J那么加与"存在整除关系为三、解答超(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1,用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项能？2, St,S?是A的子环，则S,ns?也是子环。S、+S?也是子环吗？3、谈有气慢b=（1345）（1245）=（234456）5hq1 .求5和小匕;2 .确定直接6和的寺偶性。四、证明邈（本大超共2小超，第1超10分,第2小超15分，共25分）1, 一个除坏R只有两个理想就是零理想和单位理想。2, M为含幺半群,证明XT的充分必发条件是加於a和/Me。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1,C：2、D；3、B：4、C;5,D：二、填空邈（本大邈共10小超，每空3分,共30分）。1、（1,TMIoMl”2-"（2阳2,1）：2、单位元：3、交换环：4、终数环:5、变换珞：6、同构；7、零、-a:8、S=I或S=R;9、域；三、解答邈（本大邀共3小邈，每小邈10分,共30分）1、解：把和r写成不和杂轮换的乘积:=(1653)(247)(8)=(123)(48)(57)(6)可知b为声置换，r为偶置换。和r可以写成如下对换的乘积：=(l3)(15)(16)(24)(27)T=(13)(12)(48)(57)=-(A+A,)C=-(A-Ar)2、解：设A是任意方阵，令2,2,则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且人=8+C。若令有A=4+G,这里4和Cl分别为对软矩阵和反对称矩阵，则8-4=G-C,而各式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：B=B1.C=G.所以，表示法唯一.3,等：(jV/«,+e)不爱群，因为ME中有两个不同的单位元素0和m°四、江明超(本大彪共2小彪，第1超Io分，第2小超15分，共25分)1、对于G中任意元X.y,由于(")2=e,所以D=(Ay/=丁。1.=A(对每个X,从=e可得X=X2、证明在F里ab'=b'a=(a,beR,b0)h。=，所有:|(«方凡/,工0)有意义，作F的子集Ib>。显然是R的一个商城证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择邈(本大邈共5小邈，每小迤3分，共15分)。1、C:2,D：3.B：4、B;5.A：二、块空题(本大选共10小超，每空3分，共30分)。1、变校群：2、交换环：3,25;4、模n乘余美加珞：5、2：6、一一映射：7、不都等于零的元；8.右单位元：9、消去律成立；10、交换环：三、解答超(本大超共3小超，每小超10分，共30分)1、解：H的3个右陪集为：1,(12),(123),(13)J,(132),(23)H的3个左除集为：I,(12),(123),(23),(132),(13)2、答：(E.)不是群，因为(E,)中无单位元。3,解方法一、极转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,a,b=a×b17=11339e然后回代：17=102-85=102-(b-3X102)=4X102-b=4X(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q三-5.四、证明邈(本大邈共2小邀，第1邀10分,第2小邈15分，共25分)1、证明设e是群G,*的幺元。令x=a1*b,S1Ia*x=a*(a-1*b)=(a*a1)*b=e*b=b,所以，x=a-1*b是a*x=b的解。若x'G也是a*x=b的解.则=e*×,=(a-1*a)*×,=a-1(a*x')=a-1*b=所以，x=a1*b是a*x=b的侑一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类臬合，记为Zm,每个空数a所在的等价类记为a=xZ:mIx-a或者也可记为,称之为模m婀余美。若EIa-b也记为a三b(m)。当m=2时,Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题三参考答案一、单IJj选择邀(本大超共5小遐，每小避3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合卷目要求的.请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分.1、C：2、C:3,D：4,D；5.A：二、填空题(本大题共10小题,每空3分，共30分)请在每小瓶的空格中填上正确答案错烦、不填均无分.1、唯一、唯一；2、a；3、2;4、24:5、2.4.6,6、和等：7、西群：8、特征：9,三、解答超(本大彪共3小超，每小超10分，共30分)1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用若在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，金白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，第等，可得总共8种。2,i£由上逸子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2有a-b,abS1S2:因为S1.S2是A的子环，故a-b,abS1a-b,abS2,因而a-b,abS1S2,所以SlnS2是子环.S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：i4=j(Z),:卜CeZ卜=1:卜*“易见SI与S?均为子环.但M+&：:卜也CeZ卜是子环Os.1=(1243)(56),=(16524).2,两个都是偶直换。四、证明题(本大起共2小题，第1题10分，第2小迎15分，共25分)1、证明：假定是R的一个理想而不是家理想，那么aH°w”,由理想的定义""=le",因而R的任意元？=这就是说=R,证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-1°
