线性代数（第2版）综合卷及参考答案（2套）.docx
线性代数期末试卷（综合卷）一、地空与选择典本SS满分30分，加空3分）rI23'1 .如果矩阵4=2X6正定，则X的取位范围是.、36为II-1'2 .设3阶方陈A=33k,若存在3阶非零方阵3,使得A3=0,则左=方阵B的秩/?(B)=B=.3.行列式a+bab1a+b01000aba+bI00aba-bxl+2x2+x3=14 .已知线性方程组2%+3&+（。+2）.=3无解,则=.xl+ax2-2xi=05 .设3阶方阵A相似于方阵3.若A有特征值1.1.-2.WJ+E=.6 .己知p02,0,线性相关，而。,，。”大规性无关，则C。中不能用另外3个向后战性表示.7 .如果。,刍,刍是向量组A的极大无关组则：也是向量组A的极大无关组.（八）t+2,2+i,i+y<B>l+2,2+22+t(C,5+g2，4十岁花3+若2+%(D)l+i,2+i,33+22ii8 .a.q,a,/线性无关，而a,q.a“雄性相关，则.()a.a>a:.<+y线性相关.(B)a.a1aE/+,线性无关.(C)a，aa,/+<»炒性相关.(D)a.a：,a、/+Cy战性无关.'430'二、(本应满分IO分)已知矩阵4=2I0.3阶方阵8满足(3-E)"=A'-EJ)O-I7线性代数期末试卷（综合卷）一、地空与选齐SS（本SS满分30分，加空3分）rI23'1 .如果矩阵A=2x6正定，则X的取位范围是_*>9、361.II-1'2 .设3阶方陈A=33k,若存在3阶非零方阵5f史得A3=0则Z=_3_,-1I2方阵H的秩/?(3)=_1.B=一<?+/>I003.行列式aba+b10a,+ab+a2b2+air+bl0(tba+b100aba+l,xl+2.t,+3=14.已知线性方程组2%+3&+（+2凡=3无解,则=-J.xl+ar,-2xj=05 .设3阶方阵A相似于方阵3,若A有特征值1，一2.,则|3+同=_二£.6 .己知。,线性相关，而,al,a,线性无关，则Caq中_。工_不能用另外3个向量我性表示.7 .如果。,刍,刍是向量组A的极大无关组则：一（八）_也是向量组A的极大无关组.（八）t+2,2+i,i+,<B>l+2,2+22+t(C,5+g2，4十岁花3+若2+%(D)l+i,2+i,33+22ii8 .a.q,a,/线性无关，而a,q.a“雄性相关JW_(D).()a.a>a:.<+y线性相关.(B)a.a1aE/+,线性无关.(C)a，aa,/+<»炒性相关.(D)a.a：,a、/+Cy战性无关.'430'二、(本应满分IO分)已知矩阵4=2I0.3阶方阵8满足(3-E)"=A'-EJ)O-I7解(B-E)(B-Eyt(B-E)(A:-E).B(A*-£)-E(A*-E)=E.(A*-f)=A*.H(XA-EA)=A：A.B(aE-A)=aE,X4=2.于是H(2E-A)=2E.f(2E-A)=E.从而3-1OB,=-(2E-)=E-=-1-O,2v,22Oo1三、<本时满分5分)已知向辰组a=,讨论舂数”,取何值时,(I)向世夕不能由向量组4，%,外,。,线性表示:向IiW能由向盘组W.q.,找件衣示,且表示式唯一：(3)向最A能由向量扭a,，G，a、,a,线性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.解上面三个问SS可以转化为讨论线性方理组(4a20,4)X=A在参数,b取何伯时无解、有唯俳、无,方多解.先讨论.当IaIa,Oi4=(11-l)2O,ial时，方程组有唯一解，即向琏”能由向量组.>.,找件表示,且表示式唯一.当“=I时，对方程组的增广矩阵作初等行变换.I01112I20'11001-12-12-I10-I-2-2b0000b+1321I-1l00000当人工一1时,方程组无解.从而向盘A不能由向量组w%.,.,线性表示.当=一1时,方程组有无穷多解,通髀为X2-2IO-2从而向量。能由向域组戌性表示，I1.表示式不唯一，一版表示式为A=(-l+q+j)4+(I-2<l-2<,)2+c,5+ca1四、(本SS满分15分已知二次型/(xl,xj,x,)=Aj1+at；+4xj-4ix2+4,rl.r3+2Z>.r,x,ill过正文变换X=4可以化为标准型/(埠工,小)=9.寸.(I)求常数内江(2)求所用的正交变换X=Ey1-22'解(1:次型的矩阵为A=,由已知条件知矩阵A的特征值为-2ab2力44=9,4=4=o,于是由9+0+0=l+49-00=9=5+z、2,得0=-(b+a=4'_O=-4(2)4=9时，解方程组(/1一9£)*=0,得特征向量为6=(1-22).j=4=0时，解方程组Ax=0,得特征向量为令q=(2IO),=(-20I)1o将/、正交化，得其=6=(2IO)1,I1|.再将民、从单位化，得1拽?瓜3丁i令/'=（，n力）=_264小3Ti,则由正交变换X=二次型化为20五33Z五.（本应满分15分）已知q标准形/(i.a-,.x3)=9.v；。分别是胃的两祖基，（1）求从世到祉自人的过渡矩阵P.。（2）分别求向吊¢=O在基.6.）的坐标和在域儿昆儿下的坐标.T解(DEh(l,.,)=(el.e,.e,)1OOJ-1I,23'(AAA)=(ce1*j)234得U43)门1lY,p(t.z,)=(at,a2.ay)1002U-1JU23、3443,=(l.,.)g0-；234=(l.,1)0-I0234'从基6.%.6到基旦的过渡矩阵为P=0-10-10-I，0/=(el.e,.e5)O=(,.,)IO-10=(Wa)2由倔00)=(Oliel)尸及PT=1.l2O2-13-4jJ(ai.a2,a3)2WM)PT2=RB工.六、证明题(D(本小鹿满分7分)已知A为3阶方阵，为A的三个不同的特征值，6.6.a、分别为相应的特征向量，又A=+2+6,试证：4”.人力线性肥尤(2)(本小Sfi满分8分)设A为(之3)阶方阵，且M=Q,A为A的伴随矩阵,证明:/V=O(1)证明：A-4(+,+.)=¾,l+,+,1A=A()=A(+0,+I)=+>+OI.A.A=(ai.a,.a)=3-U-A-A,于是l.a.l与.A.'等价.因为,q,是M子不同特征(A的特征向量，从而线性无关，所以AA从矛夕也线性无关，(2)证明：由a2=011JR（八）+R（八）",RA)<n-,所以/?（八）=0,从而4'=0.线性代数期末试卷(综合卷)一、埴空与选抨题本SS满分30分，f>i富3分)1.设4阶矩阵A=(.%.囚q),8=(26-大6-初4+M6)，如果K（八）=3,则IM=2.设向量住基J有相同的坐标，则,=.3 .若矩呼A=I8(是对称矩阵其中8、C、O、都是”阶方阵则B、C、O、IDH)H应湎足的条件为.T-1I、4 .已知是3维实列向fit,Raar=_)1_),l<=JT15 .已知3阶方阵A满足A+3E=A-2同=IA-EI=0,其伴随矩阵为4,则行列式Nl=1234'<1234'2345()1236.设矩阵A=3456.B=()012.则秩WBA+24)=<4567,k007 .已如实二次型/(.v,.-,.5)=7+4.V2+4x；+2¾.q-0内+轨土为正定二次型，则参数的取值范困是.8 .已知齐次线性方程组AX=O的解空间的一组基为=(U-IJJXO)1.2=(l.l,0.1.0),则必有（八）A是3x5地阵(B)4是3x4矩阵(C)R（八）=3<D>R（八）=29 .己知n维向量组,.6,.0,线性无关,则n维向炉组属,A=/,也雄性无关的充分必要条件为.（）a，。”,可用自，A，.人境性表示.（B） 4.凤./,可用r024线性表示,（C） at,a2,.,与0等价.（D）矩阵（%、6）和仍M，0）等价10.设V阶实矩阵A=（%）满足4'=63>O,则=.（八）半(B)3(C)3(D)3Zl"'44?3%+。、二、（本即满分10分）设三阶知，阵A=a2l(i220,jtB=a2la223a22+2.且aan%”J仆a3,311j,+<jN=2,求矩阵A'8.三、（本鹿满分15分）参数力满足什么条件的时候，线性方程组X1+x2+.v+.V4+X5=13xl+2x2+3+4-3xj=ax2+2a,+2A4+6x5=35xl+4x2+3+3.v4x5=b有解？并在有解的情况下，求出它的通M.四、（本超满分15分）设二次型/（$.也.茁）=，心=。4+22匕+2/«用（力>0）.其中A的特征fi之和为1,特征值之枳为-12.（D求力,（2）用正交变换X=Fy化二次型为标准型.Ii.（本鹿满分15分设V为实数域R上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运笄所成的战性空间，在V中定义映射r：r（x）=x（“：）,（】）证明T是V中的戏性变换，。）求线性变换7在基&=、R,%=Hl）乌=：R马=HR下的矩阵.六、证明题（0:、（本小肥满分7分）设W及维列向嵬B=a、（q6.j,证明：Ied,1线性相关的充分必要条件是18卜0.（2）（本小即满分8分）设A为”阶反对称实雄阵,证明：A的特征值只能是零或纯虚数.线性代数期末试卷(综合卷)一、地空与选择典本SS满分30分，加空3分)1 .设4阶矩阵A=(.:.a4),=(2,-1.l-30t4.2+1.a).如果R（八）=3.则同=012 .设向量在基=0,%=I()11()有相同的坐标，则Ij)T或
