专题66 反比例函数中的动点最值问题（解析版）.docx

反比例加收中的动点最值问题【例1.如图，直线yn+4与X轴、F轴分别交于点八和点从点C、。分别为线段八从08的中点,点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为3二点8的生标为(0,4)；*丫=()时.-14=0»3解得：X=-6.二点A的坐标为(-6.0>.点C、。分别为税段八从。8的中点，二点C的坐标为(-3.2),点。坐标为<0.2).作点C关于X釉的对称点C'连接C'。交X轮于点R此时PC+尸。的值此小，如图所示.；点C的坐标为(-3.2).：.炊C的坐标为-3,-2).设直线C'D的解析式为)=iv+<*0).将C'(-3,-2),D<0,2)代入y=v+b奔：f-3k+b=-2lb=2k4解得：3.b=2：D的解析式为y=x+2.当y=0时.皋+2-0,耨得：X=-.二点。的坐标为(-,0).【变17.如图,在平面面角坐标系中,点A是X轴正半轴上的一个定点.点一是双曲线尸星(x>()X上的-个动点，081.Y轴于点从当点尸的横坐标逐渐增大时,四边形C)APH的面积将会()B.不变D.先增大后或小A.逐渐增大C.逐渐减小解：设点。的坐标为(x.X,；PBJ轴干点8.点A是X轴正半轴上的一个定点.二四边形OAPR足个出角梯形，川OlP8的曲枳WH>li-AO.'M)-MAo)W3，+芈冶t”J22X22x22X,：ao星定tf./.四边形OAPtt的向积足个减函数.即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPli的面积逐渐诚小.故选：C.变1-2.如图，一次函数=2r与反比例/数y=Kq>0)的图象交于A,8两点，点M在以C(2,0)X为圆心,半径为I的C)C上，N是AW的中点,已知ON长的最大值礴，则的值是_第_.二O是线段AH的中点.N是线段AAf的中点，迂接则0N"8M,II.ONyJ：ON的减人假熄，2：BM的最大值为3.M在0CJB运动.，当8.GM三点共线时,HMliik.此时RC=BM-CM=2,方法二、设点B<,2d),二一次函数y=2x与反比例函数y=区(*>0>的图彳:1.8X/.4与B关于隙点O对称，二。是线段A8的中点.N是戏段AAf的中点.连接BM,则ONBM,JlON=-j-BI.0N的最大值为.8M的胶大值为3.在OC上运动.上当8,CM三点共线时，BMkik.此时BC=BM-Cw=2.,(a-2)2+(2a)2=2.m=>或02=0(不合SS施舍去)，,.,.lB,)».1=32,251放答案为：祟.【例2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数V=K(.v>0>的图象与边长是6的正方形018C的两X边A8H;分别相交干W.N两点.ZXOMN的面积为10.若动点P在X轴上，则PM+PN的最小值是226-.B蝌：；正方形OA8C的边长是6.点M的横坐标和点N的纵坐标为6./.W(6.>.r(.6).av=6,8M=6-±66OWN的面积为10,6×6-×6×-×6×-×(6-)2=IO.262626t=24,：.M(6.4),'(4.6>.作M关于X轴的对称点f'.连接N交X轴干P则MW的氏=PAf+7W的最小值.XAM-AM'=4.：.HM'10.BN=2,NM'=BMz2+BN2=V102+22=2匹1【变2-1.已知在平面宜用坐标系中有两点A(O,1).«<-1.0),动点。在反比例函数y=2的图象上运动，当线段PA与线段PR之差的绝对值最大时.点P的坐标为（,2或（-2，-I）设出城AH的解析式为y=kx+b.将A（0,1）、8（I,0）代入，得：b=ll-k+b=0解将：（k=1.Ib=I克找AB的解析式为y=x+1,l'l.AW'jZ/kVUl.I'.：!.t'X-PB=AB.!U11/-；.-3.:为绝对值收X得最大值.Jy=X+1,?Jx=lx=-2h2可制画，yq（y=21y=-l二点。的坐标为（I,2）或（-2,-I）,故答案为：（I.2）或（-2,-I）.【变2-2.如图，一次函数="“+”（m0）的图象与双曲线义=区（JtWO）相交于A（-I.2）和8（2.X/>>两点，与）,轴交于点C,与X轴文于点/）.<1>求双曲线的斛析式：2经研究发现；在y釉极半轴上存在若干个点P,使得>/?为等腰三角形.请自按写出P点所有可能的坐标.解：(I)VA1A.4(-1.2)A双曲线K=区(0)I.反I匕例的数籽析代为售一<2)；点8在双曲线丫2=-2上.X2=-2，*-1(2.-I).将点A(-I.2).B(2.I)代入次函数VI=，*+"(m0>,l,.fjm+ns2(2m÷n=-l二一次函数的解析式为产户1：令40,则y=l：.C(0.1),设P(0.p)(p<0>.8(2，-l).BC=22+(-i-D2=22=22+(-l-p)2CP=I-p.CP8为等艘三角形，二,BC-BP时2版-=22+(-l-p)2-二P=1(舍)或夕=-3,：.P(0.-3),ul8C=(7>对，22=I-/»."I-22.：.P<0.I-22).当DP=CP时，22+(-l-p)2-1。：P=-I.：.P<0,-l>.故满足条件的点P的坐标为(0.-3)I'!c<0.I-22)1(O.-I).(100Q1 .如图.点N是反比例函数尸巨（Q0图象上的一个动点,过点N作MVx轴.交出线.=-2r+4于点W,则AOMN面枳的最小但是（A,IB.2C.3D.4帽设点N的坐标为"，)则点M的半:M为，>，”，”wj>0),m2.,V=-(2-m)=Am4A-2,m22m：.SMN=-MNn=->tr-m÷3=-(m-2)2+2,244.当”r=2时，ZXOMNiSfJUkJ',最小值为2.故选：B.2 .如图，在aA8C中，AB=AC=a,ZFAC=18i,动点7Q分别在£1践8C上运动，且始终保持/用Q=99'.设8P=x,CQ=y,则y与X之间的函数关系用图奴大致可以表示为解：'：AB=AC=a.ZHAC=W.，/八8C=NAa=1180"-18)=8,2NABC=ZAPB+ZA¾=8.VZ=99.ZBC=18".¾B+QIC=99"-I8,=8.：.ZAPB=ZQAC.同理可汨/«8=NA。G4PAC.BPAB"ACCQ,0ji=-.ay2格理汨.v=3-x.aF都是边的长度，是正数，/.V与X之间的函数关系用图%我示是反比例函数在第&取内的部分，纵观各选项,只有A符合.故选：A.3 .如图，已知小8是反比例函数V=K(JI>0,x>0)图象上的两点，8Cx轴，交y轴于点C动点PX从坐标原点”出发，沿O-A-8C匀速运动,终点为C过点。作。M1.r轴./Wl轴,垂足分别为“、N.设四边形OMpN的面积为S,点P运动的时间为八则S关于，的函数图象大致为()解：点P在八。上运动时，此时四边形OMPN的面枳S=K保持不变.故排除8、D：点在8C上运动时，设跖戏0-A8-C的总路程为。戊。的速度为“，则S=OCXcP=OCX</->.因为/,OC,。均是常数，所以5叮，成次函数关系.故井除C故选：A.4,已知点A是双曲段丫=在第一象限上的一动点，连接八。并延长交另一分支于点8,以八8为一边作等XMABC的若点A的运动点C的位置也不断变化,但始终在一个函数的图象上运动则这个函数的表达式为V=-N.X解：设A(a,2).a点A与点8关于原点对制.OA-OB.八伙？为等边三角形.fflOC.OC-3A6>.过点。作CDJ_x釉于点O.则可汨ZAOD=ZOCD(mCOD的余角>,2一点C1的坐标为(x,v),贝UanA(7)=ianOC7).即21.=-a-y解褥：F=-<rx,O(.Rtcod中.c2+o2=oc1.即.+-3J1.4将)=-JX代入.<4+l).r2=3×-"a可得：=-.az故X=-.V=-a2x=-V3«>a则xy-3.故可得：V=(x>0>.X故答案为：F=-(x>0>.X5 .如图,点P是双曲线C：y=-<x>0)上的一点,过点P作X轴的垂线交直线A8：y=-2于点0.连接。凡OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，ZiPOQ面积的最大值姑_2_.>'，.poo面枳有以大做，Ja大伯是3,故答案为3.6 .如图.直线A8与X轴交于点4(1.0>,与F轴交千点8(0.2).符城段A8绕点八联时针旋转9()，得到城段/U7,反比例函数Y=K(0.r>0)的图象经过点C已知点P是反比例函数y=K(0.xXX>0)图象上的一个动点,则点P到直城AB距离见短时的坐标为坐-a.蝌：（I）设Fl线A8的解析式为.r=t+h.符小A（1.0）.,.<0,2）代入得卜"=0lb=2，出城/18为y=-2x+2s；过点C作CTX1.x轴，；线段AB绕点A顺时针旋转90'得到姓段AC,.ABOCAD(AAS.AD=()B-2.CD-OA=I.C(3.1)=3,X设与AB平行的IiI线F=lt+,联立-，+/?=§,X：.-2?+Av-3=0.m-2-24=0B.h3或-2巡舍弃.此时点P允H线AS/离最短.解方科-2r+26v-3-0WXh"与理，2×22:.p(喙,6).7 .如图.在平面宜角坐标系中.点A.8在反比例函数Y=KaHO）的图象上速动,且始终保持线段A8X=小及的长度不变,，W为线段AB的中点，连接OM,则线段OM长度的/小值是_V2k+8_（用含k的代数式表示）.解：如图，因为反比例函数关于直线y=对称，观察图纹可知；节战段48'叱线y=垂H时，垂足为M.此时AM=用W.OM的住公小.为线收A8的中点.：.OAOB.；点A,8在反比例用数V=Ku0)的图象上，X二点A与点8关于H找y=r时称,V=42二可以假设八"，.).IilHOrl.-4).mm：.<m+4><-4)=k.m情理得k=n2+4n.A(m,MM),B(=114,rt).(m+2,