刘蒋巍：2024苏锡常镇二模导数解答题的源流分析.docx

2024苏锡常镇二模导数解答题的源流分析文/刘蒋巍试题呈现(2024苏锡常镇二模第17题)已知函数/(X)=+alnx(neR).(1)当=0时，证明：/(x)>l:(2)若/(X)在区间(1.W)上有且只有一个极值点，求实数。的取值范围.y(x)-et1【参考答案】(1)因为函数的定义域为QE),当"=°时，工.要证AX)>1.只需证：当x>O时，ev>x÷l,令MX)=e'x-l,则“(x)=e'-1>0,则P(X)在XW(O,+)单调递增,所以P(X)>P(O)=O,即e'>x+l.(2)。的取值范围为(-,T).从解题中发现“试题的源”A“、(x-l)e1a(x-)e+l+4x八，八、,令/(X)=+=a=O(X>。)，可知：(x-l)e=-l-axXXXx若/(x)在区间(1,+00)上有且只有一个极值点,则函数q(x)=(XT)/与函数力(X)=-I-QX注意到4(0)=T，q,(x)=ex+x-)ex=xex>0,qn(x)=ex+xex=(+x)ex>0则函数MX)=(X-1)-过点(0,1)，在区间(0,+8)上单调递增且为下凸函数(凹函数).当a=1时，函数g(x)=(x-l)e"与函数(x)=T-OX交点为(1,0)：当<T时，函数4(幻=(1-1)«*与力(X)=-I-Or在区间(l,*o)上有且仅有1个交点；当>-1时，函数g(x)=(xT)/与(x)=一1一0x在区间(1,*o)上没有交点。因此，在区间+)上恰有一个极值点，所以。的取值范围为(Yo,-1).从以上解题中发现：探究在定区间上单调递增的下凸函数(凹函数)与过定点的动直线(含参数的一次函数)交点的个数，这一问题可以看作“试题的源”.选取函数，设计问题.A靖XInXXxI常见的6个函数：、一7、X'cxInX.XexXInX这6个常见函数是导数题出题常用的素材蓝本.在这些函数基础上，演绎加工，可以产生很多问题.pxpxXpx(X1)ex如，(y=-=A_2,研究发现：函数g()=Cr-1)/过点(0,-1),在Xxx区间(0,+8)上单调递增且为下凸函数(凹函数).我们再“嵌入”一个恒过点(0,T)的动直线力(X)=-I-4X,组合在一起形成新的函数/U),使得八x)=0止竺=R+±+qXXXXex1不难发现：符合预设要求的函数/(%)可以为：f(x)=+anx(aeR).XX即为题干条件：己知函数/(X)=Qm+Mnx(cR).ex-l由常见的“下凸函数切线不等式”一一evx+l,可知>1(x>0时)X据此命制第1问：(1)当。=0时，证明：>i;若/(X)在区间(l,+)上有且只有一个极值点，则函数仪X)=(X-De”与函数h(x)=一I-Or在(1,+00)上有且只有一个交点.据此命制第2问：若F(X)在区间(1,W)上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.试题的流常见的6个函数：C、二、小、1."、x.in.XexXInX我们试着选取6个常见函数中的其他5个函数，命制类似的问题，形成变式题组：Y如，我们可以选取函数一7,并嵌入参数，命制变式问题1：e(变式问题1)已知函数/(x)=竺一二(wR)ee2(1)当=0时，证明：f(x)<一一：e(2)若/(X)在区间(l,功上有且只有一个极值点，求实数。的取值范围.【参考答案】(1)证明略；(3)的取值范围为(70,-1).思考In你可以试着选取6个常见函数中的上上、>xexlnx,并嵌入参数，命制类似XInX的试题么？试一试呢！写在后面本文通过深入分析2024年苏锡常镇二模导数解答题的源与流，揭示了试题的构造思路及其背后的数学原理。作者刘蒋巍以其深厚的数学素养和独特的解题视角，不仅呈现了试题的解答，还进一步探讨了类似问题的构造方法，鼓励读者通过选取不同函数和嵌入参数，自主命制类似的数学试题。这既是对数学解题技巧的一种提升，也是对数学创新思维的一种锻炼。刘蒋巍作为中国数学会会员、中学数学创新思维联盟公益大使，以其丰富的数学教学经验和深厚的编题能力，为读者提供了宝贵的学习资源。他不仅撰写了江苏高考数学复习指南、中考数学解题策略等多部畅销书籍，还积极推广数学创新思维，为数学教育事业的发展做出了积极贡献。我们诚挚感谢刘蒋巍的辛勤付出和无私奉献，并期待更多读者能够从中受益。如有问题或建议,欢迎通过以下方式联系作者：电子邮箱2733725655或电话15050646023。祝愿大家在数学的道路上越走越远，探索出更多的数学之美！