微专题16 对数函数及其性质（解析版）.docx

微专题16对数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、对数函数的图象与性质a>0<a<图象Tr-N(i，o)O/(,0)×?性质定义域：(o,+)值域：R过定点(1,0),即X=I时，y=0在(0,+oo)上增函数在(O,+)上是减函数当0<x<l时，y<0,当XNl时，y0当OVX<1时，y>0,当XNI时，y0知识点诠释：关于对数式log.N的符号问题，既受.0.的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当,N同侧时，log”N>0；当”，N异侧时，log,NvO.知识点二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降.如图(1)(2)知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性)，因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于I,不要忽略.2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当4>l时，随的增大，对数函数的图像愈靠近X轴；当OVaVl时，对数函数的图象随。的增大而远离X轴.(见下图)抻大湍大【题型归纳目录】题型一，对数函数与对数型函数图象问题题型二：对数函数性质的理解与运用题型三：对数不等式的解法题型四：对数函数图象与性质的综合问题题型五，反函数性质的高级应用【典型例题】题型一：对数函数与对数型函数图象问题【解析】当x>0时，/(x)=x+-,在X=I处取得最小值，排除C、D,X当XCO时，Ax)=1.-X为减函数,故选:A.lgx,0<x10例2.已知函数F(X)=41,若叫b,C均不相等，且/3)=/S)=(c),则血的取值范围x+6,x>102A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】C【解析】函数的图象如图所示,不妨设<8<c,则一Iga=Ig8=-gc+6(0,l),所以b=l,0<c+6<1,2所以必=1,10<c<12,所以IoVHC<12,【解析】由/(一为=Tlg21-I=rlg21XI=fM且定义域为xxO),所以/O)为奇函数，排除C、D：又f(；)=；log2l；|=-；<f(l)=0,排除B.故选：A.变式1.已知函数/(x)=lg(x+l),若/()=0)(v力,则()A.(a-l)(Z?-l)>lB.(-1)(Z>-1)=1C.(-l)(-l)<lD.以上选项均有可能【答案】C【解析】作出函数/(x)=Ilg(X+1)1的图象，如图:由题意可知，lg(a+l)=lg(+l),且由图象可知，T<<O<b,b<O,所以即lg(a+l)+lg(Z?+l)=lg(a+l)(Z?+l)=O,所以(+l)(b+l)=l,pab-a+b=O,a+b=-ab,gJ(a-1)(/?-1)=«/?-«-/?+1=l+2tb<l,故选：C变式2.函数y=log"(x+l)(a>0,且")与函数)，=/-2奴+1在同一直角坐标系中的图象大致是()【解析】当>时，y=log"(+l)在区间(T,+)上单调递增，此时y=Y-2r+l的对称轴为x=(>l),且对应方程的判别式/=4(/-1)>0,故a、B均不满足；当O<vl时，y=bg,(x+l)在区间(-l,+oo)上单调递减，此时)，=炉一2公+1的对称轴为x=(0v0vl),且对应方程的判别式A=4(故C满足.D不满故选：C.变式3.已知三个函数y=罐,y=f,y=iog,的图象示，则（）C.a>c>bB.c>a>bD.c>b>a【答案】C【解析】由指数函数y="图象可知,由索函数），=/的图象可知，b<0,由对数函数y=log,/的图象可知0<cvl,故可得4>c>b,故选：C变式4.设塞函数y=短,y=,y=B,指数函数y=。：,y=4,），=*,y=4：,对数函数y=log%苍y=g,2乂y=g,%，y=Iog匕X在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（）.C.0<<<1<h2<hlD.<b4<by<<bx<b2【答案】C【解析】对于A：要判断的是塞函数y=K的图像，根据y=V、y=/、y=/的图像可以判断c1<0<c3<l<c2,故AiE确;对于B：要判断的是指数函数），=优的图像，作出广1,看交点，交点高，底数越大，所以0<a4<a3<<al<a2t故B正确;对于C、D：要判断的是对数函数y=log；的图像，作出产I,看交点，交点越靠由，底数越大，所以0<<<l<<h2,故D正确，C错误；故选：C/、2-3x-2x2,x0,一/、/变式5.已知/U）=NgMX>o，若关于X的方程“同=2（ZeR）有四个不相等的实根Xpx2,x3,X4,则为X2X3X4的取值范围是（）aH）bo>）co【答案】D【解析】y=2f3x+2=2(x+,(x0),y=lg,x>O,75由函数/（力的图象可知方程/（X）=机有四个不同的实根时2m<?,O设y=m与y=_+书，（工<0）的交点的横坐标为4吃，3设XlVX2，则r20,且不+工2=-1，XlX20,设y=机与y=lgM,>O交点的横坐标为3,%4,则再>0,X4l>0,由IlgWlTlgXJ得Ig3=-Igz，X3X4=1,2JIo.xM24e1.io故选：D.变式6.当O<xv1时，16x<logflx,则的取值范围是A.(,1)B.C.(0,g)D.(0，；【答案】B【解析】当时，16'el,2,log11x<O,不成立，1111当O<vl时，当X=W时，164=k>g<,-,解得：«=,变式7.已知函数y=log,(x-l)+l(0>0且工1)恒过定点A(XO,%),且满足/叫)+"%=l,其中a,n21是正实数，则二十1.的最小值()mnA.4B.22C.9D.2【答案】C【解析】由y=lg(Al)+l过定点(2,1),.21,C、/21、U2/w2-2m2nCxl.,.,2rn2n.1rtl1,a.u.+=(2w+w)(-+)=5+5+2J=9,当且仅当=»即冽=；时取等号.mnmnnniynmnm3故选：C.变式8.已知函数y=log,1-3)+2(>0且wl)的图象恒过定点P,点P在累函数y=/*)的图象上，则Igf(4)+Igf(25)=()A.-2B.2C.1D.-1【答案】C【解析】函数y=log,(-3)+2中，令"3=1,解得“4,此时y=log,+2=2;所以函数y的图象恒过定点尸(4,2),又点P在黑函数y=(x)=T的图象上，所以¥=2,解得根二0.5；所以/(x)=x°s,所以lg(4)+lg"25)=lg(4)(25)=lgl0=1.故选：C.变式9.已知4，4，/分别为方程2'=l°g巴fiy=Iog2X,(；)=IogjX的根，则七，X一看的大小关系为()A.A：,<x3<x2B.Xi<X2<X3C.Xy<X<X2D.X3<X2<X1【答案】A【解析】在同直角坐标系中作出函数y=2"y=flT,y=log2%和尸咋尸的大致图像，如图所示.由函数y=2'与）'=l°g;X图像的交点的横坐标为为，函数），=flj与Iy=Iog2X图像的交点的横坐标为巧，函数y=（g与y=bg;X图像的交点的横坐标为七，知X<X3<W故选：A.题型二：对数函数性质的理解与运用例4.已知函数f(x)=m+k)gM2的定义域是1,2,且f(x)<4,则实数机的取值范围是()B.(-8,2)D.(2,+oo)A.(-8,2C.2,+8)【答案】A【解析】因为函数Fa)=m+log22的定义域是1,2,所以函数f(x)=w+Iog2x2=m+2Iog2,且函数/CO在12上递增,所以函数/(x)的值域为见加+2,因为/(力4,所以R+24,解得z2,故选：A例5.已知函数Fa)=Ig(f+>q3,则/的值域为()A.0,+)B.OJ)C.Ig2,lD.0,1【答案】D【解析】因为x-1.3,所以f+,o,所以/(K)=Igk2+)eo,故选：D例6.已知函数F(X)=W的值域为9则的取值范围是()A.1-00,2B.D.【答案】D【解析】由题意可得当x21时/(x)=lnx+l,所以/W的值域为口,+8),设XVl时，f()的值域为A,则由/（八）的值域为R可得(-J),l-2cr>01-2+31,解得Ovg,即0,|1.故选：D变式10.已知函数"力=log2N,g(x)=a-2xt若存在5,Z1,2,使得/()=g(w),则实数。的取值范围是()A.(,2)<j(5,+)B.(-,2kj5,+oo)C.(2,5)D.2,句【答案】D【解析】当lx2时，Iog21/(x)Iog22,gp(x)l,则/的值域为0,1,当lx2时，a-4g(x)a-2t则g(x)的值域为一2,因为存在多使得)三=go),IjliJa-4,-2O,l0若-4,-211OJ=0,则1<a-4或0>4-2,得>5或<2,则当-4,a-2O,lw0时，25,即实数”的取值范围是2,5,A,B,C错，D对.故选：D.变式U.己知/*)=10电(x2-0r+)的值域为&且,在(-3,7)上是增函数，则实数的取值范围是2()A.20B.-3a0或42C.-20或4D.0<a4【答案】B【解析】因为函数/J)=bgx2-ax+d)的值域为R,2所以2-ar+取得一切正数，即方程f一必+=。有实数解，得A=2-40,解得00或4:又函数/(")=lo三l(*一"+。)在(-3,-1)上是增函数，2所以函数y=f-or+在(-3,-1)上是减函数，且2-公+>0在(-3,-1)上恒成立，则，2,解得白一1 +40综上，实数4的取值范围为-gO或4.故选：B变式12.«=Iog080.9,Z?=Iog120.9,°=1.2°巴则,b,C的大小关系为()A.a>h>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】D【解析】O=IogOSIVa=1°go,809<Iog080.8=1,b=Iog120.9<Iog12I=O,c=1.29>1.2°=1,4,b,C的大小关系为b<a<c.故选：D.