微专题17 指对运算及指对幂比较大小（解析版）.docx

微专题17指对运算及指对塞比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对蹇比较大小(1)单调性法(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若A-8>0oA>8;A-BvOoAvb;A-B=OOA=8；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断4>,或4<即可.BB【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对籍函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对零大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1.(河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题)设=23b=咎,则Ioga(心)=()QQA.1+-Iog23B.1+-Iog32QQC.I-Iog23D.I-Iog32【答案】AQ【解析】Ioga(ab)=log0a+Ioga/?=1+log,。3s=l+-log,3.-9故选：A例2.己知/(x)=F+84°若“0)=&/,则实数。等于()log3x+x,x>0A.2B.-2C.3D.-39x4-2X<O【解析】因为/(x)='八，则"0)=9,所以，/(/(0)=(9)=2+9=z,log3x+r,x>0',解得。二一2.故选：B.例3.化简3味"的结果为()AXb7cNd【答案】C【解析】3岫=3%"=3即可=|4故选：C变式1.若XIOg23=1,则3'+3T=()A.IBuCWD.32632【答案】A【解析】由题得X=IG=IOg?,Iog23所以3'+3=3%2+3l°8i三=2+-=-.22故选：A.变式2.若板y=100,则Igxlgy的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】对暇y=100等号两边同时取对数，得lg(五y)=lgl00=2,即(lgx+lgy=2,令f=lgy(tR),则lgx=8-4,所以IgXigy=(8-4r)f="4+8=-l)2+44,即IgXigy的最大值是4(此时r=,对应y=uu=K)4).故选：D变式3.已知5"=3,3'=2,则log/。-"=()A.1B.2C.5D.4【答案】A【解析】V5=3»3*=2».=log53,b=log,2,Iog5IO-ah=Iog5IO-Iog53×Iog32=Iog5IO-Iog53×-5=Iog5IO-Iog52=Iog55=1.故选：A变式4.若正数。满足湎2=4,则。=.【答案】100【解析】因为正数4满足怆2=4,所以Iga2=电4,即Ig2×lga=21g2,所以lg=2,解得=l()2=wo故答案为：100.变式5.Iog5(log3(log2x)=0,则XT=.【答案】立4【解析】因Iog5(log3(bg2x)=,则1%(1%力=1，即1呜元=3,解得=23=8,所以XT=8=；=虫.84故答案为：立4题型二：换底公式的应用例4.化简(2Iog43+Iog83)(log32+Iog92)=【答案】2【解析】原式=(2XBIog23+Iog23)(log32+gIog32)43=-log23x-log32=2.故答案为：2.1 2例5.已知18'=2,1.5'=2,则=;【答案】3【解析】由题设，AlOgiC=Iogd,2121234m=T一i_-=Iog218-21°g2-=l0g2(18×)=3W1JXyIogl82log3229故答案为：3例6已知>6>l,若唾/+108/=*。"=力"，则+2b=.【答案】8【解析】由log,力+log=,且log,eiogz,a=l所以logflog/是方程V-x+l=0的两根，解得log/,=2或Iogh。=g，又a>b>l,所以IOgz,=2,即”=从,又a。=b"从而b2b=ba=>a=2b且=/，则b=2,¢/=4.所以a+»=8.故答案为：8.变式6.已知20=3"=相且,+1=2,则相等于（）abA.6B.6C.12D.36【答案】A【解析】由2"=3"=m得。=1，2加，=log3m,-+7=Iogw2+Iogm3=logw6=2,m2=6»?=#（负值舍去），ab故选：A.变式7.Iog23×Iog36m×Iog96=1,则实数用的值为（）A.4B.6C.9D.12【答案】A【解析】Vlog23×log36m×log96=××gIg3IgmIg6IgmI11Ig221g621g34Ig24'2'.*.Iog2m=2t：,m=4.故选：A.变式8.已知=lg2,b=lg3,p1jlog365=（）A2a+2bn-aA.B.-a2a+b.2-2aCI一。C.D.a+b2a+2b【答案】D【解析】因为=lg2,b=lg3,所以Clg5l-lg2-alog%5=-=%Ig362（lg2+lg3）2a+2b,故选：D.变式9.已知人>0,log,人=,lgb=c,5d=lO,则下列等式一定成立的是（）A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c【答案】B【解析】log,6=,lg0=c,两式相除得瞥成=31。氐10=巴，又5"=10,.log,10=d,所以lg?cc,a,a=>cd=a.c故选：B.变式10.已知1呜3=%则下列能化简为，的是（）1+2aA.Iogs3B.Iog183C.og186D.Iog123【答案】B【解析】对于A,IoggB=Iogp3=glog23=go,A错误；1.T1嗔log，3log,3log,3a对于B'°gl8'=Iog218=Iog22+2Iog23=I+2Iog23=1+2«,B正确：对于C喻6=1=j产书叫=黑，C错误；Iog218log22+21og23l+21og231+2。对于D,*3=1=嚏；=D错误.Iog212Zlog22+Iog232+Iog232+a故选：B.21变式U.已知30=5'且£+擀=1,则。的值为（）abA.IogJ5B.Iog515C.Iog345D.Iog545【答案】C【解析】令3"=5"=k>0,11,o11121则=Iogd,/?=IogIi&,-=-=lgt3»t=-=lo5,又一+丁=1,aIogskbIog5A:ab.2Iogi3+Iogjt5=Iogjt45=1,即4=45,.a=Iog345.故选：C.变式12.已知2'=24'=3,则更三的值为（）A. 1【答案】CB. 0C.-1D.2【解析】因为7=24'=3,所以x=logz3,y=IogzQ,由换底公式和对数的运算性质可得3y-x3I3Iz,1.11o1.8Il1=-=31og32-log324=Iog38-Iog324=Iog3=Iog3-=-1.xyXyIog23Iog243243故选：C题型三：利用指对塞函数的单调性比较例7.已知=2。|,=0.33/=0.3。,，则Ac的大小关系为（）A.a<h<cB.c<b<aC.h<c<aD.a<c<b【答案】C【解析】y=03'是减函数，3>0.1>0,所以(H?<0.3°<1，又2°>1,b<c<a.故选：C.例8.下列大小关系不正确的是()A.(-2.5)>(-2,5)iB.(|)2<(04产C.(J<a2D.2,5,6>2x,2【答案】C【解析】A选项：(-2.5=(2.5(-2.5)：=(2.5342因为2.5>1,>又因为指数函数y=2.5*在R上单调递增，所以(2.5,>(2.5京即(-2.5)1>(-2.5京故A正确;3B选项：(o.4)=(1)2,因为0<<l,;又因为指数函数y=(J在R上单调递减，1所以(I)(0,4)3,故B正确；1IC选项:因为厂>1,所以U故C错误;D选项：因为2.56>1,2«2<i，所256>2<2,故D正确;故选:C例9.下列各组不等式正确的是（）A.2.307>0.8,B.O.7-2$A。/。C.1.903>1.906D.2.7o9<2.70j【答案】A【解析】对于A,由于2.3°7>23°=1,O.8,<O.8o=b故2.30,>0.8箱,故正确,对于B,由于y=0.7*为单调递减函数，所以0.7-”<0.7-29,故错误，对于C,由于y=l9，为单调递增函数，所以1.9°3<1.9°6,故错误，对于D,由于y=2.7jr为单调递增函数，所以2.709>2.7°3,故错误，故选：A变式13己知=2*'b=4tc=25td=6"则（）A.b<a<d<cB.b<c<a<dC.c<d<b<aD.b<a<c<d【答案】D【解析】由题得。=2打161b=c=251d=6=361因为函数y=）在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y=16"在R上单调递增，所以b<.故选:D.题型四：利用中间值比较例10.设实数”=logQ,=l°g,c=/，则（）A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c【答案】C【解析】0¾1=Iog33<Iog35<Iog39=2,即lv<2,又：=log$有<k>g，=k>gs3<logs5=l,即,<b<l,c=4=-,所以4>6>c;故选：C例11.已知=1.6°3力=1.608,c=0.7°8,则（）A.c<a<bB.a<b<cC.b>c>aD.a>b>c【答案】A【解析】y=1.6*是增函数,故=1.6°3<人=1.6%三1.6o3>1>c=0.7oS故c<a<b故选：A.例12.已知=32,b=loga1,c=log2,则()213A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【答案】C【解析】因为0<3<3°=1，所以Ovavl,因为IogagVlog3l=,所以bv,11,1,因为logG>log=l,即c>l,33Q2所以c>>b故选：C变式14.已知=1.5%>=Iog081.2,c=O.8o2,则()A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b【答案】A【解析】因为=1.5°2>l,b=kJ.2<0,c=0.8°2(0,l),所以0>c"故选：A变式15,设4=3；，b=(|)，C=Iog3,则(A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知2a