4函数的单调性---拔高难度---讲义.docx

函数的单调性.学问讲解一、匹照单倜鞋的定义1.定义假如函数"可对区间。内的随意/W,当<电时都有了(%)<)，则称小)在。内是增函数；当<F时都有"%)>),则/(x)在。内时减函数.2.等价形式设内/2式。力,那么-,H)>Oo"x)在，句是增函数;再一4旭一/皿<O=f(x)在。，耳是减函数；XT2(x,-x2)(x1)-(x2)<O/(X)在a,b是减函数.3应用即若/O)在区间。上递增(递减)且/G)</(巧)=王玉(%,9e)；若./W在区间。上速递减且f(%)Vf(A2)OR.(%，/。).1.比较函数值的大小.2.可用来解不等式.3.求函数的值域或最值等二、单倜槌判别1 ,推断前留意探讨函数单调性必需在其定义域内进行,因此要探讨函数单调性必需先求函数的定义域，国数的单调区间是定义域的子集；2 .用于推断的方法定义法：用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设,七是该区间内的随意两个值，且不<W作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于推断差的符号的方向变形.定号：确定差(或/(%)-/(%)的符号，若符号不确定，可以进行分类探讨.下结论：即依据定义得出结论，留意下结论时不要遗忘说明区间.子区间法：假如fM在区间D上是增(减)函数，那么/(X)在D的任一非空子区间上也是增(减)函数；图象法：复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减；运算性质法：在公共定义域内增函数f()+增函数g()是增函数；减函数/()+减函数g()是减函数;增函数-减函数g()是增函数；减函数/(x)-增函数K(X)是减函数.特别函数：函数N=公+g(>°,">°)在卜或上单调递增；在或上是单调递减.f经典例题一，解答颤(共16小麦J1.(2013秋临淄区校级月考)画出函数y=2X；的图象并指出其单调区间.【解答】解：由已知可得y=×l2-Ix,该图象可由y=2-的图象保留y轴右边的部分，并作关于y轴的对称可得.由图象可得函数在(8,一打单调递减,(-1/0)单调递增,2.(2015秋长宁区校级期末)已知函数y=11-r,求：ii1(1)函数的定义域，奇偶性并作出大致图象；(2)写出函数的单调区间.【解答】解：(1)由2x1WO,可得x±q,1函数的定义域为xxW±5；11fX-2x-l-2x-l,函数是偶函数；图象如图所示；(2)函数的单调递增区间为11(-8,.3),(-3,0);单调递减区间为(O,3.(2013利通区校级一模)已知函数f(x)=×x-2.(团)写出f(X)的单调区间；(团)解不等式f(X)<3；(团)设0<a2,求f(X)在0,a上的最大值.X2-2x=CxI)2Ix2【解答】解：(1)函数f()=-2=92-X2÷2x=-(x-1)+Ix<2.f(X)的单调增区间是(8,1和2,+8)；单调减区间是1,2.,(x2(X<2(2)不等式心)3,即x!×-2<3f20“a，或，(X-2x-3<02,2+3>o2x<3或x<2,，不等式f(x)<3的解集为xV3.(3)当O<al时，f(X)是0,a上的增函数，此时f(x)在0,a上的最大值是f（八）=a(2-a).当l<a2时，f(X)在0,1上是增函数，在1,a上是减函数,此时，f(X)在0,a上的上的最大值是f(1)=1.综上，当OVaWl时，此时f(x)在1.,a上的上的最大值是f（八）=a(2-a).当l<a2时，f(X)在0,a上的上的最大值是1.4.(2016秋延J11县校级月考)已知函数f(x)=x2-4x+31.(1)求函数f(X)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M=mm使方程f(x)=mx有四个不相等的实根.【解答】解：(l)f(x)=(×-2)2-l1.函数图象如图，f(x)的单调递增区间是(1,2),(3,+8),单调递减区间是(8,1),(2,3)；(2)由图象，考虑y=mx与抛物线相切时，m=4-23,Vy=m×与图象有四个交点,0<m<4-23,即使方程f(x)=m×有四个不相等的实根时,0<m<4-23,M=mOVmV426.5.（2017禹王台区校级学业考试）证明函数f（幻=%+在1,+8）上是增函数.【解答】证明：任取Xl,X21,+8）且X1<2,则f（Xi）f（X2）=%+上-（冷+白）=（X1-X2）1-（5分）xlx2X1×2VXl-×2<0,X1X2-1>O,Xl×2>0.f(×1)-f(×2)<0,即f(Xl)<f(×2).f(x)在1,+8)上单调递增；(10分).16.(2017秋浦东新区期末)推断并证明函数f(x)二丁二在区间(1,0)上Xz-I的单调性.【解答】解：依据题意，函数f(X)=士在区间(-1,0)上单调递增，X-1证明如下：设IVXlVX2<0,111(%2T1)(%2+%1)则f(Xl)-f(×2)=1=,Xl2-I%22-l(Xi2-1)(%22-1)又由IVXIVX2<0,贝!JX2-X1>O,×2+×1<0,Xi2-KO,×22-KO,则有f(×)-f(X2)<0,则函数f(X)=J7在区间(-1,0)上单调递增.%27.(2017秋河东区期中)推断并证明f(X)在(0,+8)的单调性.X+1【解答】解：函数f（函在（0,+8）递增,证明如下:%21由f(X)=1;,x2+lx2+l令X>X2>0I则f(Xl)-f(X2)%12+1X22+1(X1+%2)(Xl-X2)"(i2+l)(X22+l)；V×l>×2>0,×-×2>0,X1+x2>O,X12+l>O,X22+l>Ol故f(Xl)-f(X2)>0,故f(x)在(0,+8)递增.8.(2017秋铜梁区校级月考)已知函数/(X)=zx-5,-2.(1)利用定义法推断函数的单调性；(2)求函数值域.【解答】解：(1)任取Xi,X2-5,-2,且×1<×2,印“，、一、3x13x23(x1-x2)则/(%)-f%)=中-x2÷(x1+i)(x2+i)'由×-×2<0,X+l<0,X2+KO,所以f(Xi)f(X2)VO,即f(Xi)Vf(X2),所以y=f(X)在-5,-2上单调递增.(2)由(1)知f(x)rnin=/(-5)=¥,f(X)ma×=f(-2)=6,所以函数y=f(X)的值域为件，6.49.(2017秋鄱阳县校级期中)证明函数/(%)=在R上为增函数.2x-l2【解答】解：法i：f(x)=获；西丁.y=2+是R上的增函数，是R上的减函数，y=-7是R上的增函数，则f()是R上的增函数.法2：任取Xl,X2£R,且×1<×2,则Mef(黑-g湍三VXl<X2,.2x<2x2则f(Xi)-f(X2)<0,即f(Xi)Vf(X2),函数f(x)在R上为增函数.%2+0%+Q10.(2016秋南岗区校级期末)已知函数f(X)=,x1,+8),且Xa<l(1)推断f(x)的单调性并证明；(2)若m满意f(3m)>f(5-2m)z试确定m的取值范围.T2J-QY-1.q【解答】解：(1)函数f(X)=x+a一，x1,+8),且aVl,XX当x21时，F(X)=10,故函数f(X)在1,+8)上单调递增.(2)若m满意f(3m)>f(5-2m)z结合函数f(x)在W1,+o°)上单调递增，可得3m>5-2ml,求得IVmW2,故实数m的取值范围为(1,2.11.(2017春红岗区校级期末)已知函数f(X)=ax2-2ax+2+a(aVO),若f(x)在区间2,3上有最大值1.(1)求a的值；(2)若g(X)=f(X)-mx在2,4上单调,求数m的取值范围.【解答】解：(1)因为函数的图象是抛物线，a<0,所以开口向下，对称轴是直线x=l，所以函数f(x)在2,3单调递减，所以当x=2时，yma×=f(2)=2+a=l,a=-1(5分)(2)因为a=-1,f(X)=-x2+2x+1,所以g(X)=f(X)-mx=-X2+(2-m)x+1,g(x)的图象开口向下,对称轴为直综=竽，但)在2,4上单调，从而m-6,或m22所以，m的取值范围是(.8,6U.2,+8)(10分)，QY-I12.(2017秋碑林区期中)设函数f(X)=；TT，其中aeR.(1)若a=l,f(X)的定义域为区间0,3,求f(X)的最大值和最小值；(2)若f(X)的定义域为区间(0,+8),求a的取值范围，使f(X)在定义域内是单调减函数.【解答】解：f(X)=ax-1(x+l)-lx+1-%+1+lx+1设3X2£R,则f(x)T(X2);M+lx1+l(q+1)(%1-%2)(x1+l)(x2+l)2(1)当a=l时，f(X)=1-,设OWXlVX23,则f(Xi)2g-%2)(X1+l)(%2+l)又Xl-×2<0,X1+1>O,×2÷l>0,f(Xi)-f(×2)<0lf(Xi)<f(X2).f(X)在0,3上是增函数，212*f(X)max=f(3)=1-=-zf(X)min=f(O)=1-=-1.421(2)设X1>X2>O,贝UXiX2>0,X1+1>O,x2+l>0.若使f(x)在(0,+8)上是减函数，只要f(x)f(X2)VO,而f(X)-f(X2)=(q+DQiF)(X1+l)(%2+l).当a+l<0,即a1时，有f(Xi)-f(X2)VO,f(XI)Vf(X2).；当aV-1时，f(X)在定义域(0,+8)内是单调减函数.13.(2018春杜集区校级月考)对于区间a,b和函数y=f(x),若同时满意：f(X)在a,b上是单调函数;函数y=f(X),Xa,b的值域还是a,b,则称区间a,b为函数f(X)的“不变区间.(1)求函数y=×2(x0)的全部不变区间.(2)函数y=x2÷m(x0)是否存在"不变区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在,说明理由.【解答】解：(1)易知函数y=×2(x0)单调递增，故有，二;，解得a=0或1,b=0或1,又aVb,.所以函数y=2(x0)的不变区间为0,1.(2)易知函数y=x2÷m(x0)单调递增,若函数y=x2÷m(x0)存在不变区间，则有b>a20,且6+zn=,Ib+m=b消去m得a?-b2=a-b,整理得(a-b)(a+