导数的应用之极值点偏移.docx

导数的应用极值点偏移目录一、认识极值,直偏移:1二、极值点偏移的判断：2三、极值点偏移基本解题方法：2（一）基本解题方法2（二）利用对数均值不等式解题方法2四、例题展示：3【例题1（基本结论型）3【例题2】（非常规结论型）3【例题3】（对数均值不等式型）4五 .极值点偏移本质泰勒展开式5六 .用本质（泰勒展开式）解题6（2021新高考一卷21题）6处理极值点偏移的方法8结语8一、认识极值点偏移：【极值点偏移的定义】极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移【极值点偏移的原理】函数自身所导致的在极值点(类对称点)左右两端增速不一样【极值点偏移的图形定义】1 .左右对称,无偏移，如二次函数；若/(%)=f(x2),则+w=2xo2 .左陡右缓，极值点向左偏移；若"xJ=(2),则+W>2%3 .左缓右陡，极值点向右偏移；若"xJ=(2),则玉+当<2%二、极值点偏移的判断：【概念重述】根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现%+"人二三,"*)一八)等条件而求证不等式"X1X2X1-X2成立的时候，即可视为极值点偏移考察【例题展示】1 .(2010天津)已知函数/(x)=XeT,如果XlWA2，且/(x)=()，证明：x1+x2>2.2 .(2016新课标1卷)已知函数X)=(X-2)F+a(x-1)?有两个零点.设x,马是/(%)的两个零点，证明：+x2<2.三、极值点偏移基本解题方法：(一)基本解题方法1.基本求导：通过对函数求导获得的单调性，极值情况，画出对应图象，根据题目条件求取值范围(数形结合思想)；3 .变更结论：将非基本证明结论通过代数式变形为基本结论4 .(通过已知等式)构造辅助函数：(1)对结论玉w>(<)2V构造7(x)=(x)-(2/一尢)；(2)对结论玉超>(<)与2，构造尸(X)=/(x)-/);kx5 .研究辅助函数性质：对辅助函数进行求导，限定范围(的或乙的范围)，判定符号，获得不等式；6 .代入证明：代入用(或)，利用Fa)=及力的单调性证明最终结论.(二)利用对数均值不等式解题方法1 .建立等量关系：根据/(N)=/()(=0)建立等量关系；2 .变形两边取对：等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；3,恒等变形求解：通过恒等变形转化出对数平均数(的值或仍用,x2表示)，代入对数平均不等式求解.四、例题展示：【例题1】(基本结论型)已知函数/(X)=，-奴有两个不同零点内,/，其极值点为.求证：xi+x2<2x01 .基本求导：/(元)在(YO,与)上单减，在(与,+00)上单增，可设芭</<%2；Xo=In4.2 .构造辅助函数：构造函数尸(X)=/(x)-(2x0-x),则尸'(力=/'(1)+广(2$一力=/+*|-"-2/,3 .研究辅助函数的性质：当彳<与时，有尸'(x)>2J"”-2a=0,则F(x)在(,/)上单增，得F(x)<歹小)=0,即/(x)<(2x0-x)(x<x0);4 .代入证明：将M代入中不等式得/(x1)=/(x2)</(2-x1),又Z>X(),2x0-X1>xo,/(X)在小,+8)上单增，故.<2元0-x1,X1+x2<2x0.【例题2(非常规结论型)己知函数/(x)=x-lnx,若两个不相等的正实数X，/满足/(x1)=(x2),求证:r(%)+r(W)Vo1 .变更结论：因为为)=-1.所以raj+")=2-''<。='+>？.XXX,22 .通过已知等式构造辅助函数：/(x1)=/(x2)即InXl=X2.InX2，+l116r=÷lnZ?,t己函数g(x)='+lnx,则g(Q)=g(b)原问题变为：已知函数g(x)=+lnx,若两相异正实数,b满足g(0)=g(b),求证：a+b>2.3 .研究辅助函数的性质4 .代入证明【例题3（对数均值不等式型）已知函数/（x）=21n%-"，若人"2（再切是/U）的两个零点，证明：r（W"）o.1.建立等量关系：2Inx1-axl=2nx2-ax22 .变形两边取对：2(InX,TnxJ="(1.2),得高款=:3 .恒等变形求解：由对数平均不等式得X1+x,24c/426,xl+X2>,x1+2x2=(x1+x,)+x0>+=2aaaaa补充（基本证明过程）2f,(x)=aX1.基本求导：2 .变更结论：。<0,即证%+2x2>x1+2x2aWjuU6(x)<d冷3 .（通过已知等式）构造辅助函数:构造函数尸（x）=x）-/>°"M°'得/()在g4 .研究辅助函数性质:r(x)=r(x)÷lrg-=-.÷l丘a2当O<x<2时，x(6-a<I6-«-|=aaa)a上单增，有尸(x)<f()=0,BP(x)<-J<<5 .代入证明：代人再即得证.五.极值点偏移本质一一泰勒展开式极值点发生偏移，直观表现为函数图象在极值点左右两侧（包含极值点与的一个邻域（x0-M+r）的增减速度不同.如下图，导函数广（力一直在增加，但增加得越来越慢；如上右图，导函数/（刈也一直在增加，但增加得越来越快.一阶导数广（力增加的速度用二阶导数/（6的大小来表示不难看出，在上图中，r（x）增加可知广（力单调递增，得/（）0；r）增速越来越慢，则广的绝对值越来越小，又尸（力0,故/（力单调递减.第二个图中,广（司增加即广（力单调递增，得广（工）0；）增速越来越快,则/（力的绝对值越来越大，又/（60,故/（x）单调递增.二阶导数/（力的单调性用三阶导数（力的正负,第一个图中，（另0；第二个图中，rwo.于是，极小值点的偏移方向（左偏还是右偏）可用三阶导函数（力的正负（符号）来判定若尸（X）V0,则极小值点左偏；若/"（x）0,则极小值点右偏.同样的分析，可以知道极大值点的偏移方向也可用三阶导数x的正负来判定，结论是:若"(X)<0,则极大值点右偏；若(另>0,则极大值点左偏，即极小值点右偏.六.用本质(泰勒展开式)解题(2021新高考一卷21题)已知函数/(X)=X(Jlnx),回答下列问题:(1)讨论F(X)的单调性(2)设b为两个不相等的正数，.hna-anh=a-bi证明2<+：<e首先，我们先求一下它的极值点坐标，为(1.l)(此求导过程略)然后，我们瞅一眼让证明的式子，发现1的两倍就是2,所以他是让我们证极值点偏移。其次，我们看一看结构，发现,十!属实让人难受，那我们就把它换下元变成ab1=1,x2=,换完元顺眼多了吧。ab现在我们开始整理前面条件所给的式子吧：楞看一眼，发现好像得化成用同一个函数表示的结构，也就是把a放到一边，把b放到一边，但是实践后你会发现，你确实创造了一个新函数，但是貌似和题干中所给函数建立不起任何联系，因此总结出一条忌讳：当你构造出的函数与题干中所给函数不一样时，一定要小心了，你可能要么构造错了，要么剑走偏锋了。而无论那种结果，都会让你坠入极值点偏移的黑暗。那么我们尝试一下其他方法，等式两边同时除以加(此方法经常应用于解决双变量差值型构造函数问题)lnaln?11Inalln力11I111I11I11I1z,1.=>1-=1-=>In-=In-=>(1in)=(1in)abbaaabbaaabbbaabb此时我们发现最后的式子与之前设的X=1.X2=1.不就是一样的吗，因此我们大概可以推ab测，出题人先是将M=1.X2=1代入原函数，得到1(Jln3=!(l-ln!),然后变换一下成为abaabbhna-anh=a-h(猜想命题思路)直到现在，还没有用到镜像函数啊，别着急，前期准备工作也是很重要的，现在前期工作准备就绪,原题干变为了让我们证明极值点偏移,那么接下来请不要眨眼，让我们开始骚操作：根据泰勒展开式，我们设g(x)=m(x-m)2+/(/)，此处的X。为函数的极值点。为什么要这么设。有三个原因：一是我们需要让设的函数在极值点处导函数为0,根据泰勒展开式二阶他是个二次函数，所以要设成二次的，二是但是为了满足证明方便，我们需要将其平移到与原函数相同的位置，即如下图所示，因此要向上平移极值个单位长度。第三个原因：为什么设成(彳-%)2形式，先保密，一会儿揭晓。设完之后我们就得求R了，勿咋求，根据你想要的求啊，你想要他在/(X)的极值点处导函数为0,那你就求导呗。求导咋求简单？你想想，如果两个函数在同一个位置有相同的极值点，那极值之差为0,因此我们构造Zz(X)=/(x)-g(x),对(X)进行求导，利用(X)=O求出来例这里直接给出勿的表达式：，"二；(/)，当然通过表达式你也可以直接对AX)求二阶导然后代入极值点，但本质都是泰勒展开二阶式！对于这道题，()=-l(-l)2+l求完g(x)后，我们要证明(X)的正负，为啥要证明(X)的正负，因为你求出来的g(x)和/(X)图像大概长这样：不知不觉间，现在你明白泰勒展开式的意义了吧，化极值点偏移为极值点中和，化偏为不偏！，这就是泰勒展开式的美根据我们对h(x)=-x2-1.-XInX正负分析可知：22当O<x<l时，/(x)<g(x)=/Z(X)V0,当x>l时，f(x)>g(x)=>h(x)>0因此我们不妨设OVXlVIV42,所以就有，(XI)Vg(石)、/()>(2)BPx(1Inx)<(,-1)"+1(1-1),Jf2(I-Inx2)(1-2)所以我们把(1-2)变形一下得到：(1一3)见证奇迹的时候到了，将(I-I)和(1-3)相加得：X-12-再加X+zM*2<(*2-1)2-1)1现在你知道第三个原因是什么了吧，没错就是为了方便因式分解！因为玉Inx1-X2Inx2=1-x2,+x2-2)(x2-xi)<0上述式子中，因为超-玉>。，因此就可以化简成再+%>2,证明完毕！最后，让我们总结一下处理极值点偏移的方法吧：(1)泵由/(大)薪ii麻巫标(XOJ(XO)构建二次函数X(X)=Mx-/)2+f*o)设力(X)=/(x)-g(x)利用人"(%)=0求出加=；/(%)(4)证明的z(x)正负；(5)根据/仆)的正负得到/(x)>g(x),f(x)<gM9进行变形使得不等号方向一致(6)将所得两式相加，并结合/(玉)=/。2)，因式分解可得：X+Z>2/或再+4<2/结语：极值点偏移作为高考导数压轴，思维量还是很大的，因为其本质是高等数学内容,所以学生用常规方法做很繁琐,而且步骤繁多，找到本质是关键,但还需要后期的练习和巩固，如果当你看完这篇文章后，认为自己已经完全掌握此方法，那下面就让我们试试前几天困扰一些同学的题目吧，相信