3.2.2利用空间向量求角.docx
建文外国语学校高二年级数学学科导学案主备：审核：授课人：授课时间：学案编号：班级：姓名：小组：老师“复备”栏或学生质疑、总结栏课题：3.2.2利用空间向量求空间角课型:新授课【学习目标】会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；.1.依据题中已知条件，建立适当的空间直角坐标系，并求出各点坐标【学法指导】自主学习,合作探究【学习过程】自主学习案一，象向/的彳泉等问：(1)两向量数量积的定义：a-b=abcos<ayb>*一/7h(2)两向量夹角公式：cos<a,b>=abTT学问点1：两直线所成的角(范国：e(q)(1)定义：过空间随意一点。分别作异面直线a与b的平行线a'与b',那么直线a'与b'所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.(2)用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为1和3,问题1:当与.的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角。与。和B的夹角的关系？<a,b>问题2:Z与3的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角6与。和.的夹角的关系？6=Ji-<a9b>一一mn结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为COSe=ICOS<加,>=IMIlnI例1如图，正三棱柱ABC-ABle的底面边长为0,侧棱长为J%,求AG和CBI所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系A-xyz,则32Q.QDa1即COS<AC1,CBl>=11.=2=.AC,和CBl所成的角为工IAC1HCB1I3/23总结：(1)CoSV丽,函>与CoSC丽,布>相等吗？(2)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区分？学问点2、直线与平面所成的角(范围：6>l0,-)2思索：设平面a的法向量为，则<九,A4>与。的关系？(图2).zl.-,InABSme=ICos<，A8>=-据图分析可得：结论："A3例2、如图，正三棱柱ABC-AB£的底面边长为明侧棱长为后,求AG和面44乃乃所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系4一盯Z,则羽=(0,0,缶),而=(OM,0),布=2*a赤)设平面例用8的法向量为=(x,yz)由"AA=OJ5z=0n(y=0取=l,.n=(1,0,0)Jj-AB=Oay=Oz=0归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图，ABCO是始终角梯形，ZABC=90o,SA_1面458,SA=AB=BC=IAD=-,求面SCo与面SBA所成二面南的余弦值.2解：如图建立空间直角坐标系A孙z,则A(OOo),1,1,0),0(0,1,0),S(OoI)21*1CD=(1-,O),SD=(0,-1)x-2=02,取z=1,得X=1.y=2,J=O.263*易知面SBA的法向量为=AO=(0,万,0),设面SCD的法向量为n2=(x,y,z),则有.n2=(1,-,1)nln9R.cos<%,>>=T=-=即所求IW1Iln2I3练习：如图2,在底面是直角梯形的四棱锥S4BCD中，ADBC,ZBC=9Oo,543_面ABCD,S三-,4B=BC=1,4D=-o求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。22课后作业1.(2019广州一模)如图，在棱长为3的正方体ABCf)A与GR中，点E是棱。的中点，点F在棱纥B上,且满意8尸=2/8.(1)求证：EF1.A1C1；(2)求£F与C。所成角的余弦值(3)求平面A所与平面ABeo所成二面角的余弦值.2.（珠海2019届高三9月摸底）如图，长方体A8CO-Al5GA中，E、F、G分别为AB.C1D1>DC中点,AB=2yAD=43,AA.=3(1)求证：C1EI平面AbC.(2)求二面角/一AC-G的正切值.3.（龙岗区2019年统考题）如图，已知在宜四棱柱A5COCQ中，AD-1.DCiABHDC,DC=DDI=2AD=2AB=2求证：OB_1.面BlBCCl（2）求二面角Ax-BD-Cx的余弦值4.（龙岗区2019年统考题）如图，在三棱柱A4C-A"C中，AB1.侧面己知AB=BC=I,BB1=2,NBCCI=E为CG的中点.(1)求GB的长；(2)证明：G5_1.平面ABC；(3)求二面角A-4E-B的大小.5.(2019广东理18)如图4,四边形ABcD为正方形，尸Z)J1.平面A88,ZDPC=30,A尸_1.PC于点/，EF/CD,交PD于点E.(1)证明：b1.平面AC)F；(2)求二面角O-A/一石的余弦值.6.(2019湖南理19)如图所示，四棱柱ABCo-A旦Gq的全部棱长都相等，AC(BD=O,ACJB1D1=Oi,四边形ACClAi和四边形BDDIBl均为矩形.(1)证明：QOJ底面488；(2)若NCR4=60。，求二面角£一。与一。的余弦值.三、之'秸：1.异面直线所成的角：CoSe=ICOSc匕!2.直线和平面所成的角:Sine=Icos<7,荏不回通mAB3.二面角Cos'=cos<nl,n2>=IIl«2I八一一n,rcos=-cos<n1,n2>=-=IIl:I
