3 MMs排队模型.docx

§3M/M/s排队模型一、单服务台模型（即MM1或M/M/1）到达间隔：负指数（参数为2:到达率）分布；服务时间：负指数（参数为:服务率）分布；服务台数：1;系统容量：无限；排队长度（客源）：无限；服务规则：FCFS.1 .队长的分布设p“=PN="=0,l,2,.为系统平稳后队长（有客的概率）并记9<1）N的概率分布，则由（1）,鹿=1,2,.（累积服务率）（2）（无客的概率）P“=C“Po,=1,2,.及4=4,=0,1,2,.和MI=（服务强度，一般/可得,n=1,2,.故有Pn=P"Po，”=1,2,.其中因此pll=(l-p)n=0,1,2,.无客的概率：p0=l-,至少有客的概率P今服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率如单位时间,X=2,M=5,则，即40%在忙.2 .几个主要指标(1)系统中平均顾客数;平均队长(2)系统中等待的平均顾客数=平均排队长可以证明(见其次版P328的注释)在M/M/1中，顾客在系统中逗留时间听从参数为的负指数分布，即密度分布函数:f(t)=-)evyt0.分布函数:F(r)=P(Tf)=l-"().于是得(3)在系统中顾客平均逗留时间(4)在队列中顾客平均等待时间因为逗留时间=等待时间7；+服务时间V,即=tf+v故W=E（7；）+E（V）=此+工，从而得W=W-=-=pW"一人另外还可得到（时间及空间关系）：乙=4卬和4=州这两个常称为1.itUe公式.各公式可记忆如下：由义和M今服务效率，从逗留时间)等待时间Wq=pW队长1.=;IW今排队队长4=p£或4=4叱还可导出关系和3 .服务机构的忙期B和闲期,分析(1)因为忙期二至少一客的概率p,闲期二无客的概率1-2分忙期时间长度/闲期时间长度二JI-P(2)因为忙闲交替,次数平均分平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=丁«一9.i-p(3)又由分布无记忆性和到达及服务相互独立性今任闲时刻起,下客到达间隔仍为/1负指数分布今平均闲期二下一客到达间隔,今n11今平均忙期=B=上=W1/7,fJ.即顾客平均逗留时间，实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站,设待编列车到达时间间隔负指数分布，平均到达率2列/h;编组时间听从负指数分布，平均20min可编一组.已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站.求(I)在平稳状态下系统中列车的平均数；(2)每一列车的平均停留时间；(3)等待编组的列车的平均数.假如列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车的费用为a元小，求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解这里a=2,=3,(1)列车的平均数(小时)(2)列车的平均逗留时间(小时)(3)等待编组的列车平均数例)(4)等待编组时间(小时)(5)记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为明,则%=WPN>2=W(I-Po-Pi-P?)(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24九%。=24×2×0.296×a=4.2。(元).例2某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均4人/h;修理时间听从负指数分布，平均须要6min.试求：(1)修理店空闲的概率；(2)店内恰有3个顾客的概率；(3)店内至少有1个顾客的概率；(4)在店内的平均顾客数；(5)每位顾客在店内的平均逗留时间；(6)等待服务的平均顾客数；(7)每位顾客平均等待服务时间；(8)顾客在店内等待时间超过IOmin的概率.解这里=4=l0.1=10,(1)修理店空闲的概率p0=l-p=l-25=0.6(2)店内恰有3个顾客的概率P3=P3U-P)=0.038(3)(4)店内至少有1个顾客的概率PTVl=l-p0=p=2/5=0.4在店内的平均顾客数1.=P=2/S=0.67（人）I-P1-2/5每位顾客在店内的平均逗留时间¼z=10(min)4(6)等待服务的平均顾客数1.qp1.0.4×0.67=0.268(人)(7)每位顾客平均等待服务时间W1.q0.268.z.VVy=-4(min)(8)顾客在店内等待时间超过IOmin的概率.-i(l-1.)PT>10=e'6,5j=e,=0.3679.二、多服务台模型（即MMs或M/M/s）到达间隔：负指数（参数为;I：到达率）分布；单台服务时间：负指数（参数为:服务率）分布;服务台数:s;x=2=s=系统容量：无限；排队长度（客源）：无限;服务规则：FCFS.数据分析设P=PN=0,l,2,.为系统平稳后队长N的概率分布，则=0,1,2,.和系统的服务率n,11=1,2,3,.,5s,w=5,5+1,.记，则当2<1时，不至越排越长，称Ps为系统的服务强度或服务机构的平均利用率.由前面的(1),(2)和(3)公式得1)nCn=Pn=<ns!fX(yl(SXJ_s!s"$WPo,=l,2,3,.,snO布。，*ns其中当s时，顾客要等待.记这个等待的概率为9sc(s,P)=ZPn=-POMs!(l-2)称为Erlang等待公式.(1)平均排队长1.q=E(n-s)pn=-X(11-5)pfi11=j+lS11=+=POdPSd.yA=PqP'P,或.(2)正在接受服务的顾客的平均数三npnp'=Z-"o+sgMns(-pjPpPOP+"°Q60l1)!(5-1)!(1-a)好不及S无关.奇!(3)平均队长1.=平均排队长+平均接受服务的顾客数=1.q+P.对多台服务系统，仍有1.itUe公式：例3考虑个医院医院急诊的管理问题.依据统计资料，急论据病人相继到达的时间间隔听从负指数分布，平均每0.5h来一个；医生处理一个病人的时间也听从负指数分布，平均须要20min.该急诊室已有一个医生，管理人员现考虑是否须要再增加一个医生.解这是一个MZMs8模型，有4=2,=3,5=1,2由前面的公式，结果列表如下1?s=ls=2空闲的概率Pn0.33305有1个病人的概率p>0.2220.333有2个病人的概率P20.1480.111平均病人数1.20.75平均等待病人数Ul1.3330.083病人平均逗留时间WI0.375病人平均等待时间Wq0.6670.042病人须要等恃的概率PJT11XH0.667(=I-PO)0.167(=l-pw-p)等恃时间超过0.5小时的概率P(Tq>0.50.4040.022等恃时间超过1小时的概率P(Tq>10.2450.003假如是一个医生值班，则病人等待时间明显长.结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达听从泊松过程,平均到达率每分钟之=0.9人min.服务(售票)时间听从负指数分布，平均服务率=0.4人/111.现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型，其中=0.0748PO-2.25。225'Z2?一253厂""+",0!1!2!3!1-2,25/3(2)平均排队长1.q=().0748x2.2533/43!(14)21.70()=3,=2.25,PS=由公式可得：(1)整个售票处空闲概率1平均队长:1.=4+7/=1.7+2.25=3.95(人)(3)平均等待时间(min)平均逗留时间W=%+1/=1.89+1/0.4=4.39（分钟）（4）顾客到达后必需等（即系统中顾客数已有3）的概率c(3,225)=P'Pqs!(i-H2空。Wr.3M/4在上例中，若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队，则MM3÷3个MM1如下图所示(b).（八）每个队的平均到达率为4=4=4=0.9/3=0.3（人/分钟）结果比较如下服务台空闲的概率P0WM/30.0748M/M/10.2"每个子系统）顾客必需等待的概率P(n3)=0570.75平均排队长1.q1.702.25（每个子系统）平均队长1.3.959.00（整个系统）平均逗留时间W4.39（分钟）I（X分钟）平均等待时间Wq1.89（分钟）7.5（分钟）单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组动身、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。其主要任务是依据列车编组安排的要求，大量办理货物列车的解体和编组作业。对货物列车中的车辆进行技术检修和货运检查整理工作，并且依据运行图规定的时刻，正点接发列车。所以，人们往往称编组站为编组列车的工厂。编组站的主要任务和作用可以归纳为：-一解编各种类型的货物列车.作业：5.1某店令有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人h,修理时间听从负指数分布,平均需IOmin.求(1)店内空闲的概率；(2)有4个顾客的概率；(3)至少有1个顾客的概率；(4)店内顾客的平均数；(5)等待服务的顾客的平均数；(6)平均等待修理时间；(7)一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率.5.2 设有一单人打字室，顾客的到达为Poisson流,平均到达时间间隔为20min,打字时间听从负指数分布，平均为15min.求(1)顾客来打字不必等待的概率；(2)打字室内顾客的平均数；(3)顾客在打字室内的平均逗留时间；(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h,则主子将考虑增加设备及打字员.问顾客的平均到达率为多少时，主子才会考虑这样做？5.3 *汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速马路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s.由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门准备采纳新装置，使汽车通过关卡的平均时间削减到平均30s.但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的.依据这一要求，分析采纳新装置是否合算？