2百大经典例题——三角函数的图象和性质(新课标).docx

【例I】当a（0,今时，求证Isn+cos>l解：在单位圆中，作出锐角a在正弦线MP,如图2-9所示Va(0.y)MP>0,OM>04MPO中，MP+OM>OP=1即MP+OM>1/.sina+cosa>11例2若sm8>:且8通<；.求的集合解；在声由的正方向上取ON=：,过N作后由的平行线交单位圆于P”P?两点，过P“P2分别作PMj_x轴,PM_1.x轴,垂足分别为M,M3.显然MB=M出=ON=:（如图210）.,.sinl=sin3=.在。,2穴内.B三j三r266适合sm的范固是（2k九+y<<2k11+多，kZ）266同理找出适合cos41的范围是（2k11+-<<2k11+fkZ求交集得（62k兀+;<C+占，kZ）56【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是:用边界值定出角的终边位置;依据不等式定出角的范围;在0,2n中找出角的代表；求交集，找单位圆中重叠的部分；写出角的范围的表达式，留意加周期.【例3】求下列函数的定义域：(l)y=V2sm2x÷cosx-1(2)y=Jlog2-IVsmX(3)y=Janxtgxr-1(4)y=JSlnX+/16-xa解：（1）为使函数有意义,需满意2sin2x÷cos-l0即2cos'xcosc1<0解得J<cosx<l由单位圆，如图211所示（2k11.<s<2k11+y,kZ）rl1为使函数有意义,需满足J泡嬴即"nx<5SanX0Slnx0由单位圆，如图2T2所示（xRk11<<2k11栏，kZ）Ux2k11+<N<2k11÷11,kZ【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数，特殊是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.Sinx>0(3)为使函数有意义，需满足.,(C12k11<x<(2k+l)112k九+<x<(2k+l)女或2k丸.<x<2k冗即为2k八+g<x<(2k+D冗，kZCJ函数的定义域为(x2k/+*<K(2k+l)九,kZ)(4)为使函数有意义，需满意：SmX>0.2k冗(K2k八+冗kZ162>0-4x4取k=0和T时，得交集为-4Vx-n或0xJi，函数的定义域为(-4,-冗U0,11【说明】求三角函数的定义域要留意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要留意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要留意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能变更原函数的自变量的取值范围.(2)y=anxcos1+snx+Cosx【例4】求下列函数的值域:(l)y=log1(l-smx)(0<x<y)解;(I)V0x<y.Osnx<l又二函数y=Iog产在O,+8)上是减函数5logl>y>log1l即O<y<li5此函数的值域为yOWyVl令SJnX+Cosx=t,则ItlV1+sinx+cosx0.*.t-l.,sanxcosx=(SInX+cosx)'1D2/-D1y=11-=2而函数y=J(tl)在0,-l)(-l,点上是增函数4.虎+1N贬-1日±1厂<y<且疗JI，此函数的值域为.与1.-1)(-1,与勺【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要留意函数的概念的指导作用，留意利用正、余弦函数的有界性.【例5】推断下列函数的奇偶性：(iX(x)=(2x÷f(x)=sm(cOsC)(3)f(x)=1+anx【分析】先确定函数的定义域，然后依据奇函数成偶函数的定义推断函数的奇偶性.解:函数定义域为R,且f(x)=co2x)=m2x*f(l-)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)函数f(x)=cos(2x+当是奇函数(2)函数的定义域为R,且f(-)=sincos(-)=sin(cosx)=f(x)，函数f(x)=sin(cosx)是偶函数.因l+sinx0,sinx-1,函数的定义域为xxR且x2k11RkZ),由于函数定义域区间关于原点不对称,所以函数丫=善上21+Sinx既不是奇函数，也不是偶函数.例6求下列函数的最小正周期：(l)y=sn(-2x)÷san2x(2)y=cos4x÷sn4x【分析】欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(+)÷b或y=Acos(÷)÷b的等形式.函数y=Asin(-rX+竹)+b或y=Acos(SX+9)+b的最小正周期为T=J卷y=A(<x+S)+bs5y=ACtg(3+°)+时最小正周期为T=-.化简的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数.解,(1).y=sn(-2x)÷sn2x=2snycos(y-2x)=cos(y-2x)故T=11-2(2) y=cos,x+sin,x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x,】八,l(l-s4x)=1-sinZx=I-T2221cos4x3cos4x=1一+=一+4444,T.2NJ.1.=三21例7求证函数y=ISmxI小。SXI的最小正周期是三证明:7f(x+.=sm(x+/卅COKX+今|=ICosxi+sinxI=f(x)5是函数，y=n÷cosx的周期，下面证明T是这个函数的最小正周期.假设0<T<*是函数y=smxcosx的周期，则对任意xR,sn(x+T)I+cos(x+T)：=ISinX+CoSXl都成立.特殊当X=O时,有IsinTI+cosTI=sinT÷cosT=1.但是当0<T<怖时，SanT+cosT>1与此矛盾，fc<T<g的正数T不存在，所以B是函数y书时比。用的最小正周期.【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的X的集合.(l)y=冗-cosx(2)y=cos2x÷cosx+1(3)y=s>nx-V3cosx解：(1)当且仅当COSX=1时，y取得最大值11.1(.1)=11+2使y取得最大值的X的集合为xx=(2kn+l)11,kZ当且仅当COSX=I时，y取得最小值n1(l)=7J使y取得最小值的X的集合为I=2k11,kZ(2)y=COS3X÷cosx+1=(cosx+-)a+-当COSC=.时，即x=2k冗士3，kZ,y取得最小值;234当COSX=1.即x=2k北(kWZ)时、y取得最大值3.(3)y=snx-cosx=2(anxcos-sinycosx)=2sn(xg)当x=2k芯+r(kWZ),y”=26当x=2k九3(kZ),yajh=2【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1 .形如y=asinx+b或y=acosx+b,可依据sinx,cosx的有界性来求最值；2 .形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos'x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)z+k或y=a(cosx+m)z+k,但要留意它与二次函数求最值的区分,此时ISinXlW1,IcosxI13 .形文小=asnx+b8sx,可化为y=JaNSm(X+)其中,由tg=2确定，则由Ism(X+)|41,可确定盘最值.a【例9】求下列函数的单调区间：(l)y=*sn(x+g)(2)y=sn2x2sinx+2【分析】困难三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的.增区间应泪y=inxXX2k翼一2k*+22n3m2kn+y#2kx+-O1.W办y88XPkn+*2k÷22kft2k*+n(kZ)尸中nn(k«-k»÷-)z(kZ)yeigZ(kMH)(kZ)醺如泊，版"的醒I侬1标的嬲加.yO11-1图2-13当nk八，k冗)，(kZ)y=snn单剧递增.当nk兀，k穴÷y)(kZ)Jr=Tsinnl单调通喊.Ca.函数丫=相1+9)|的递增区间为k兀-?<÷4<k11424即k11.<x<k114即Z44递减区间为k11<x+<k11+42即k八kZ44(2)函数y=sin2-2sinx+2,是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，工Iu【W1X*<inx尸(u4)2+1PkB-.2k»+-22电摩彼«3xPk*+y»2k<+腱.y=n'x2smx+2的递减区间为2k/，2kn+白，kEZ递增区间为2k八+/2k11+1,kZ.【例10当a20,求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的X的取值.【分析】本题对f(x)解析式的变换关键在于相识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类探讨的打算.解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2="(snx÷Cosx)2-1+a(snx+cosx)÷a34(snx÷cosx)2+2a(snx+cosx)+2a2-14=(sinx÷cosx÷a)2+a2-14由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)的最大值、最小值.合snx+COSX=,则t<M并且y=(t+a)',它的图象是开口向上的.对称轴方程为t=曲抛物线在,虎上的一部分.由a>0,此抛物线的图象如图2-14所示两种可能.，当t=时，y取最大值为（二+a尸若0«衣（如图214），则当t=喧时，y取得最小值O若a、(如图214),则当t=/时，y取得最小值为(a-后)2*外t=&Oanx+cosx=品0Sm(X+彳)=1OX=2k冗+-,kZX5xt=-72Oanx+cosx=-72Osn(x+-)=-1Ox=2k"+,kZ4At=-aox=2k穴±arccos(-)+：,kZ图2-14若OVKy,则当x=2k丸+arccos(/)+：,kCZ时，f(x)的最小值为如1)4若a>心则当x=2k加+彳，kZ时，f(x)的最小值为