大题07新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）（教师解析版）.docx

黄金冲刺大题07新定义综合(数列新定义、函数新定义、集合新定义)(精选30题)1. (2024辽宁二模)已知数列4的各项是奇数，且。.是正整数的最大奇因数，Sn=q+%+%+&+1.+a2.(1)求。6，20的值；(2)求，,S2,S3的值;(3)求数列代的通项公式.【答案】(1)4=3,20=5(2)Sl=2,S2=6,S3=22【分析】(1)根据所给定义直接计算可得；(2)根据所给定义列出4(i=l,2,3,8),即可得解；(3)当为奇数时4=。2卜1=22一1(AWN*),即可求出4+4+生+211.1,当为偶数时。“=。2氏=4(4N*),从而得到生+&+&+%=S,即可推导出S“一SE=4"T("2),再利用累加法计算可得.【详解】(1)因为6=l23,所以&=3,又20=1x4x5,所以%)=5；(2)依题意可得4=%=1，6=3,G4=1,6=5,4=3,%=7,叫所以S=4+%=2,S2=q+/+%+4=1+1+3+1=6,Sy=4+a2+%+%+"5+4+07+/=1+1+3+1+5+3+7+1=22.(3)因为凡是正整数的最大奇因数，当为奇数，即=2%-l(2N*)时4=%=2攵-1,所以q+%+%+4j=+3+5+(2"-1)T)X2"T=4"T,当为偶数，即=2M%N*)时=%«=%,所以当“2时电+/+4+4+%=÷<2÷x2+4×2÷+11-=4+%+q+q+%=Sg,fifjVSn=al+a2+a3+a4+1.+%=(al+a3+as+.1)+(¾+4+«6+«8+)=4-,+Szi所以EI-Sl=4"T52)且S=2,所以S1.(S”-S“t)+(Si-S.2)+.÷(-S2)+(S2-S1)+S1=4ni+4n'2+42+4+2.4(Ie)4”1-434n+?当=1时*=2也满足邑=当*,所以数列sl的通项公式为'=£芋.【点睛】关键点点暗：本题关键是理解定义，笫：问关键是推导出5”-5一二4"7(/2)且号=2,最后利用累加法求出S”.2. (2024黑龙江双鸭山模拟预测)己知数列A：6M2，Mv(N3)的各项均为正整数，设集合T=x=aj-aifi<jN,记T的元素个数为P(T).若数列4:1,3,5,7,求集合7,并写出P(T)的值；若A是递减数列，求证:“P(73=N-1”的充要条件是“A为等差数列”；(3)已知数列A:2,22,-,2jv,求证:P(T)="T).【答案】(I)T=2,4,6,P(T)=3(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】(1)根据题意，结合集合的新定义，即可求解；(2)若A为等差数列，且A是递减数列，得到dv,结合%-4=(-i)d,证得充分性成心再由A是递减数列，得到T=/一对叼一如见一4。，/一4，结合互不相等，得至J4=%-4=册一%，得到必要性成立，即可得证；根据题意，得到P(T)"W-D,得出/一4=2，一2,，得到2"(2，小-1)=2(23-1),不妨设彳>如则2-(2，小-1)=2-1,推得T为奇数，矛盾，进而得证.【详解】(1)解：由题意,数列Al,3,5,7,11I3-1=2,5-1=4,7-1=6,5-3=2,7-3=47-5=2,所以集合T=2,4,6,所以集合=3.(2)证明：充分性：若A为等差数列，且A是递减数列，则A的公差为d(d<O),当li<N时，arai=(j-idt所以T=d,2d,3d,(AT-I)JJ,则P(T)=N-1,故充分性成立.必要性:若A是递减数列，P(T)=N-I,则A为等差数列，因为A是递减数列,所以。2-4>。3->afj-al,所以出一4，%-,qq1.,即一,且互不相等,所以7=02S-ai,a4-qJ1.MN-a1,又因为4-4>%>>1v-a2>aN-a，所以一%M1.a2，即一6e7且互不相等，所以一。2=。2一%，。4一。2=。3-4，MN-。2=-4，所以二=aN-aN-，所以A为等差数列，必要性成立.所以若A是递减数列，-P(T)=N-1.的充要条件是“A为等差数列”.(3)证明：由题意集合T=kv=勺-4,lj<N卜1的元素个数最多为"个，N(N-I)即P(T)<2对于数列A:2,22,2,v,此时%-4=2'-2l若存在%一%=%-%,则2，；一2%=2为一2%其中工>2>公故2%(2"“_1)=2'(2"0-1),若彳工，2,不妨设小>%则2s2(2/小-1)=2於2-1,而j>ilj>i2,故?FR""-1)为偶数，2fcf-l为奇数，矛盾，故彳=，2,故j=h、故由A:2：2,2”得到的勺-4彼此相异，所以P(T)=M：-1)3. (2024广西二模)己知函数X)=Inr,若存在g(x)f(x)恒成立,则称g(x)是""的一个“下界函数”.如果函数g(x)=；-Hu为“力的一个吓界函数”，求实数1的取值范围；(2)设函数尸(x)=(力-十+,试问函数/(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.【答案】(D(F,2)e(2)函数F(X)是否存在零点，理由见解答【分析】(I)把恒成立问题转换为求Zdnx的最小值问题，利用导数求出最小值即可：(2)把函数整理成尸(X)=InX-41.-J>-4+2=l(l一力，要判断是否有零点，只需看尸(此的正eoxoxeexxeeJ1X负问题，令Ga)二尚，利用导数分析G(X)即可.ee【详解】(1)由g(x)(x)恒成立，可得工-lnxlnx恒成立，X所以f2xlnX恒成立,令(x)=2xlnx,所以(X)=2(1+lnx),当Xe(0)时，"(x)<O,(用在(0)单调递减；ee当Xed,+00)时，,(x)>O,MX)在d,+8)单调递增；ee1 22所以力(外的最小值为")=一，所以f-Jeee实数,的取值范围(,二；e2 21(2)由(1)可知2xlnx-,所以21n4,所以Inx,eerex又尸(X)=/(x)二十工，所以尸(X)=InX一二+2"，_4+2(二力，eexeexexeexxee1 1令G(x)=-7,所以G(X)=一1，eee当x(0,1)时，G(X)<0,G(X)在(0,1)单调递减；当x(l,+8)时，G(X)>0,G(X)在(1,+力)单调递增；所以G(x)G=0,所以尸(X)=InX-=(-0,eexexeexXee又中取等号的条件不同，所以尸(%)>0所以函数没有零点.4.(2024湖南长沙模拟预测)设次多项式匕C)="/+1/-/+0+卬+%,产0),若其满足4(CoSX)=CoS内，则称这些多项式乙为切比雪夫多项式.例如：由COSe=COSe可得切比雪夫多项式E(X)=X,由cos26=2cos2e-l可得切比雪夫多项式6(x)=22-l.若切比雪夫多项式A(X)=OV3+b+B+d,求实数&bfcfd的值；(2)对于正整数.3时，是否有？(力=2XtT(X)-&2(月成立？已知函数/(x)=83-6x-l在区间(-1,1)上有3个不同的零点，分别记为M,工2，不，证明：+X2+r3=°答案(l)=4,6=d=0,c=-3心a)=2xe(力-匕Ta)成立(3)证明见解析【分析】(1)利用Q(COSe)=COS3e=8s(M+e)展开计算，根据切比雪夫多项式可求得冬几4。；(2)原等式成立，只需证明COSe+I)e+cos5-l)e=2cosg8S6成M即叽利用两角和与差的余弦公式不论成立;(3)由已知可得方程4V3x=在区间(T,1)上有3个不同的实根，令X=CoSae(0,11),结合(1)可是cos36=g,可得X=cc吟,W=CoS,a=COS与，计算可得结论.【详解】(1)依题意，6(COSe)=COS36=cos(26+6)=cos2osd-sin2为in。=Qcos?。-I)COS。一ZsinWcose=2cos%-COSe-2(1-CoS2。)COSe=4cos'8-3cos6,因此Q(X)=4x33x,即0+bf+以+d=4V-3x,则。=4/=d=0,c=-3,(2) B+G)=2x4(x)-W(X)成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式CoSe+l)6+cos("-l)e=2cose-cos6.首先有如下两个式子：月+1(cos6)=Cos(，旧+6)=Cos&OSe-Sin的n6,Pn_x(s)=cos=cosmcos÷sin2sin,两式相加得，Pn,x(cos(9)+Pn+x(s<9)=2cos氏OSe=2Pn(CoSe)COs，,将8S。替换为X,所以"G)=2xe(x)-2T(X).所以对于正整数3时，有七(力=2x吃"力一(x)成立.(3)函数f(x)=8d-6工-1在区间(TI)上有3个不同的零点3,与，七，即方程4-3x=g在区间(Tl)上有3个不同的实根,令X=COSae«0,兀)，由(1)知CoS30=g,而36(0,3c),则3。=1或36=干或3。=日,.,.11511711Tze=Cos-,x2=Cos-,x3=cos-,则X1+W+W=11511711COS+COS+COS11(411211)=COScos+cos999所以须+X2+v3=°9I99J5.(2024浙江模拟预测)己知实数夕工0,定义数列%如下：如果=%+22+22芍+2乜m0,1,z=0,1,2,则afl=Xo+xq+%夕？+xW(1)求和4(用。表示)；令瓦二旬7，证明："=%.;I=I若lv"2,证明：对于任意正整数，存在正整数?，使得4<m+1.【答案】(l)%=l+4+42，/="(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)观察题目条件等式中的系数可得答案：(2)仇分别计算和4、可证明结论；/-I(3)先根据无上界说明存在.正整数?，使得为<%,分1是偶数和帆-1是奇数分别说明.【详解】(1)因为7=1+2+22,所以%=1+”夕2；因为8=23,所以=43；(2)由数列叫定义得：b,=%=qM;所以£>=1+4+d+gi./=I而2"-l=l+2+22+2",，所以为=l+q+q2+4"'=£；/=I(3)当l<q<2,由(2)可知，。丁=4"7无上界，故对任意，存在4,使得4>4设机是满足凡,“的最小正整数.5面证明44+l.若相1是偶数，设相-1=2再+22ji2+2xjt,xj.0,l,z=l,2,Jc,则加=1+2+2工+2kxk,于是MJ=I+不闯+%?+xkqk=1+am-i.因为。之。所1，所以4=l+*W4+l若相T是奇数，设m-l=l+2+2?+