大题02 数列（精选30题）（教师解析版）.docx
黄金冲刺大题02数列(精选30题)1. (2024江苏南通二模)设数列,的前项和为S”，若SZf-Ta“="+i,gn求q,d2,并证明：数列如+4用是等差数列；求SV).【答案】(1)6=4,%=2,证明见解析：(2)420.【分析】(1)直接代入=1可得4=4,再代入=2,结合可的值求出的=2；再由S"-gzf=+仿写出Sn-in,i=(n-)2+f作差后得到q+为_|=4-2,即可证明结果.(2)由(1)知数列a.+4为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】(1)当=1时，由条件得4-gq=2,所以q=4.当=2时，由条件得(+/kg%=5，所以a?=2.因为S"一g""=2+1，所以SrJT-gfj=(-1),+1(n2),两式相减得：。“-(。”+3。小=2-1,即4+4=4一2,所以(%+4)-(q+%)=45+1)-2-(4-2)=4,从而数列q向+4为等差数列.(2)由(1)知为+%_=4-2,所以4+勾川=4(+1)2=4+2,所以数列+0为等差数列，首项为4+%=6,所以Szo=(q+%)+Q+,)+(%+o)=°Xkq'所以S20=(4x2-2)+(4x42)+÷(4×20-2)=1°x6+7=420.2. (2024福建福州模拟预测己知数列“满足4=2,alt=an,l+2n(w2).求数列0的通项公式；记数列，卜勺前项和为S”，证明：Sn<1.【答案(l)11=11+lN*；(2)证明见解析.【分析】(I)根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.(2)利用裂项相消法求和即可得证.【详解】(1)数列"中，当2时，an=an,x+2n,即a,*=2，则为=4+(%4)+(/一4)+(4-1一。“-2)+(4-6,11-)an=2+4+6+伽一2)+2/1="2；2")=.2+,而“=2满足上式，所以数列.的通项公式是勺=/+，hN*.,/、1Ill(2)由(1)知4=犷+=(+1),HGN则二-二(皿=77，C111I因此Sfl-1f÷I-1×22×3(-1)”«(/?+1)illIlll,1H=1一一+-+=1,Ifijwl,则1<1,223n-nnzz+1n+n+所以S“<1.3.(2024全国模拟预测)已知数列4满足”胃肾且4=1.(1)求数列0的通项公式.求数列.的前100项和SK)0.2亏,为奇数【答案】(1)4=J25-1/为偶数3x250-53【分析】(1)由递推公式得，当&cN*,是首项为1,公比为2的等比数列，令“=。”+1，4是首项为2,公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前八项和公式计算即可.【详解】（1）由题意，得当左cN'时，a2k=2a2k_i-t%=%t+l将代入，得川=2%一所以%l是首项为1，公比为2的等比数列，所以如=2i.又因为%+2=2%t+T，所以a2k.2=2出。+1，所以%+2+1=2(%k+1).令4=°2a+1,则=沟,而。2=2一I=1,bi=a2+l=2f所以4是首项为2,公比为2的等比数列,所以a=2。所以所以4=42*为奇数2乙,为偶数SloO=(+aj+99)+(¾+4+rt100)=(2o+2,+249)+(2,-1+22-1+25o-1)=(2o+2,+249)+(21+22÷+25o)-50×(-22×(-25q1-21-2=3x250-53.4.（2024浙江宁波二模）己知等差数列4的公差为2,记数列也的前项和为SMA=O也=2且满足+=2S“+an.（1）证明：数列d+l是等比数列;（2）求数列rt的前项和Tn.【答案】（1）证明见解析:C(211-l)3n+lzI=(+1)【分析】(1)根据通项与前项和之间的关系，作差可得加广32+2,即可利用等比数列的定义求解,(2)根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【详解】(1)n>2f,+1-bn=2(Srt)÷a,=2bn+2,gp+1=3+2.又&=O也=2,也符合年=34+2,所以m1时，+1=3+2,即2.+1=3(0+1).又4+1=1h0,所以2+1hO,所以把?=3,所以数列也+1成等比数列.(2)由(1)易得d=3"T_l.由4=24+4可得q=2,所以勺=2.所以anbn=2(3"T-I)=23"-2,所以T=203°+23+332+311,)-(+1).÷M=l30+23,+332+z3f则SM=1-*+2-?+?+113n.所以2M=-(3°+3+32+3w,)+3”=3"-yy=,所以I=2M-n(n+)=-?3+1_(>+).5.(2024浙江杭州二模)已知等差数列/的前项和为S“，且S4=4S2,%=2为+1("N)(1)求数列0的通项公式；a9数列%满足2=3,令%也=4+2,向，求证：X<-.=11.答案4,=2"1("N)4a+6"=84+444+(2-1)d=2q+2(-1)d+1'解力(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列4的首项为q,公差为d,由题意可得，程求出4,d,即可求出数列q的通项公式；（2）由（1）可得导=|1,由累乘法可求出以的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）设等差数列凡的首项为4,公差为d由S4=4S22n=2。0+14al+6d=84+4da+(2n-l)tZ=21+2(一l)d+l解得：a1=l,d=2,所以a.=l+2(-l)=2-l(eN*).(2)由(1)知，(2n-l)=(2n+3)+1,51'=7>=5bn.,2n-bn2-3bn12-51b112w+3,b.2+1,b22-l,十l十，,.bnbn.b、2-32一5利用累乘法可得：4=在产-=-%-2U2/2+12n-l99rl1Az二（2-1）伽+1）=丸"C,+Js冈，伉=3也符合:式,4=1=b1+÷+.,+所以%4一击退6.（2024浙江二模）欧拉函数°（M（"N'）的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如：夕(1)=1,°(4)=2,。=4,数列,*的足zt=°(2"X"n)（1）求卬，4，%，并求数列0的通项公式；记a=（）"g警1.,求数列出的前和S”.a2n【答案】（1）G=1，/=2,%=4,an=2"620÷6S1.石+西可【分析】（1）根据题意理解可求%,生,%,结合与2"互素的个数可求数列q的通项公式;(2)求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可知4=0(2)=1,a2=(4)=2,=W=4,由题意可知，正偶数与2"不互素，所有正奇数与2"互素，比2”小的正奇数有2"个,所以%=0(2")=2"T；(2)由(1)知。”=“2")=2"T,所以%,=e(22")=22i,所以以=(T)*=(-1)"墨二=(T)'Qf*=(4-2=+,所以S.=2x（一;）+6x（-；）+（4-6）x（-；）+（4-2）x（-；）,32011÷610-5×（-4）w+,所以s620+6=+2525x（T）"7.(2024重庆模拟预测)已知数列4满足4+2%+36+wzr=+l)!,weN(1)求4的通项公式;若力1023且AeN*,记”二，讨论数列出的单调性.ak'flI024-A【答案】(1)4,2,n=lw!,w2（2）当1A512,AN'时，瓦单调递增；当512E024,tN时,4单调递减【分析】（1）分两种情况讨论，=1和2,即可求解；（2）先计算出A和如23,当2<A1022时，计算出?，令3=1，再检验两端点，即可得出也的单调Dk-Ink-性.【详解】（I）由已知得，当=1时，q=2!=2,当2时，ax+2a2+3ay+5-l)"=!,a+Ia2+33+na11=(w+l)!,一得，凡=(+1)!！=！，BPan=nf所以为2,=l!,w2(2)当Z=I时，4=2,=当上二1023时，瓦=如“1023a4024a“0231024!1024!1024当2A1O22时，bk=2×1023!1024!2x102312嘤=512,=512,%!(10242)!-11024!-l)!(IO25-)!1024!伏一l)!(1025W¾,1!(IO24-)!1024!J025-攵1025-Zlo25-1,显然，当2左1023,AeN*时，单调递减,令袅=1,即华1=1,解得k=512.5,bk-k所以当2k512,kN时，卢>1,4单调递增,%1024!1O23×IO242!(1024-2)!>512=4,所以当lWk512,kN时，4单调递增;当513WA1024,kN时,又“10221024!1022!(1024-1022)!红<1,M，1023x1024、1.=2>512=3,所以当512Z1024,AN时，4单调递减.8.（2024河北邯郸二模）己知正项数列4的前项和为S“，%=3,且瓦=厄+底.求“的通项公式;45若包=%，求数列他的前项和沙.anan+【答案】%=2T得到Szt=2,利用+Ui【分析】(1)首先求出4=1,可证明数列JT为首项为1,公差为1的等差数列,4=f-Szt,1得到.的通项公式;(2)由(1)知，bn4,4anan+(2-l)(2w+l)，化简可得32e利用分组求和以及裂项相消即可求出数列也的前项和口【详解】(1)当=1时，由6=后+6,即斤Z=2j1，解得：4=1,所以S=而=1，则数歹U#7为首项为1，公差为1的等差数列;当2时，atl=Sa-SZtT=-1)2=2/1-1,当=1时，4=2x1-1=1满足条件,所以M的通项
