专题02 方程与不等式（5大易错点分析+19个易错点+易错题通关）（江苏专用）（解析版）.docx

专题02方程与不等式一元一次方程专题易错点：1 .理解方程的概念：一元一次方程只有一个未知数，且该未知数的次数为1。学生需要清楚地理解这个定义，才能正确地识别和构建一元一次方程。2 .移项问题：在解方程的过程中，学生可能会在移项时出错，例如将正数移到等号的右边时，忘记改变其符号，或者在移项时没有正确理解等式的性质。3 .去括号问题：去括号是解一元一次方程的重要步喉，但学生常常在执行这个步骤时出错，尤其是在处理负号和正号时。4 .合并同类项：合并同类项是解一元次方程的关键步骤之一，但学生可能会在执行这个步骤时出错，尤其是在处理正负号时。5 .系数化为1：在解一元一次方程的最后一步，学生需要将方程的系数化为1,以找出未知数的值。但这个步骤可能会被学生忽略或执行错误。6 .理解并运用等式的性质：等式的性质是解元一次方程的基础，但学生可能没有完全理解这些性质，或者在应用这些性质时出错。易错点1：一元一次方程之古代问题例：九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六.问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出Il文钱;如果每人出6文钱，就相差16文钱.买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是X文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（）X-16x+11Cx-11x+16A.=B.=6969Cx+11x-16x-11x+16C.=D.=6996【答案】A【分析】本题考查了元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键.根据人数不变列方程即可.【详解】解：由题意，得：X-16x+1169故选：A.变式h九章算术中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为-则可列方程.【答案】8x-3=7x÷4【分析】本题主要考查r-元次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设人数为心根据每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，列出方程即可.【详解】解：设人数为X,根据题意得：8x-3=7x+4,故答案为：8x-3=7x+4.变式2,古代中国的数学专著中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是”今有生丝30斤，干燥后耗损3斤，今有干丝12斤，问原有生丝多少？”40【答案】原有生丝为三斤.【分析】此题主要考查了元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键.可设原有生丝为工斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解.【详解】解：设原有生丝为X斤，根据题意得：X301230-3,40解得：X=三，40答：原有生丝为/斤.易错点2：一元一次方程之行程问题例：A、B两地相距200千米，甲骑摩托车以40千米/时的速度从A地向B地行驶，半小时后乙开车以60千米/时的速度从A地向8地行驶，则当两人相距10千米时，甲骑摩托车行驶的时间是()A.1小时B.1小时或1.5小时C.1小时或2小时D.1.5小时或2小时【答案】C【分析】本题考查元次方程解实际应用题，涉及行程问题，根据题意，分两种情况讨论，列方程求解即可得到答案，熟记路程=速度X时间是解决问题的关键.【详解】解：根据题意，分两种情况：是甲在乙前面时；是甲在乙后面时；当甲在乙前面时，设甲骑摩托车行驶的时间是X小时，则40x-60(x-05)=10,解得X=1；当甲在乙后面时，设甲骑摩托车行驶的时间是y小时，则60(x-0.5)-40x=10,解得x=2；，综上所述，甲骑摩托车行驶的时间是1小时或2小时，故选：C.变式1:甲，乙车同时从A地出发去地3,两车均匀速而行，甲车到达3地后停止，乙车到达B地后停留4小时，再按照原速从8地出发返回A地，乙车返回A地后停止.已知两车距A地的距离(km)与所用的时间（三）的关系如图所示，当两车相距14Okm时，两车出发的时间为小时.【答案】7或12或不【分析】本题已考查了根据函数图象获取信息，元一次方程的应用；分别求得甲、乙两车的速度，结合函数图象，0<X10,10<Xl4,14<Xy,X>y,列出一元一次方程，解方程，即可求解.500【详解】解：依题意，甲车的速度为市=30kmh,乙的速度为桨=50kmh,T10当0<x10时，依题得，50x-30x=140,解得：x=7,当10<x14时，500-30x=140,解得：X=I2,当500-50(x-14)=3OX时，两车相遇，解得：x=15当14<x<三时，30x-500-50(x-14)=140解得：X=半(舍去)当x>三时，5(X)-5(X)-50(x-14)=14()即50(x74)=140,84解得：X=«4综上所述，当两车相距14Okm时，两车出发的时间为7或12或1小时.«4故答案为：7或12或(变式2：受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点.第一次用了60秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了45秒.(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？(2)求所用时间"秒)与速度W米/秒)的函数关系式；若要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于多少米/秒？【答案】(1)3米/秒(2)v=午；6米/秒【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用；(1)依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；(2)依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题.【详解】(1)解：由题意，设小勇第一次训练的速度是X米/秒，则第二次训练的速度是(x+l)米/秒，.60x=45(x+l).解得：x=3,答：小勇第一次训练的速度是3米/秒.(2)从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：60x3=180(米)，小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为U米/秒，所用时间为f秒，180/.V=.当要使所用时间不超过30秒时，SPr<30,.,.v>6.要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于6米/秒.易错点3：一元一次方程之利润问题例：某商品提价25%经营了两个月后，销量大幅降低，若要恢第原价，则应降价().A.25B.25%C.20D.20%【答案】D【分析】本题考查元次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程.设应降价率为X,把原价看做单位“1”,可得关于X的方程式，求解可得答案.【详解】解:设应降价率为X，把原价看做单位T，则提价25%后为1+25%,再降价X后价格为(1+25%)(Ir),.(l+25%)(l-x)=l,解得x=20%.故答案为：D.变式h某商场将某种商品按成本提高60%标价，又以8折优惠卖出，结果每件商品仍可获利14元，则这种商品的成本价是元【答案】50【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找出等量关系是解题的关键.设这种商品的成本价是1元，根据题意列出方程(1+60%)XXO.8T=I4,然后求解即可.【详解】解：设这种商品的成本价是X元，根据题意得，(l+60%)x×0.8-x=14,解得X=50,答：这种商品的成本价是50元.故答案为：50变式2：一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：销售量单价不超过100件部分2.6元/件超过100件不超过300件部分2.2元/件超过300件部分2元/件若买100件花元，买260件花元；买350件花元；(2)某社团为举行活动花了568元买这种商品作为纪念品，求购买这种商品多少件？若张强花了元(>260),恰好购买0.45件这种商品，求的值.【答案】(1)260,612,800购买这种商品240件(3)的值为1000【分析】本题考查了一元一次方程的应用.(1)根据不同的档，求出购买不同件数的花费；(2)说先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费；（3）根据：=购买0.45件商品的花费，列出关于的方程，求解即可.【详解】（1）解：买100件花：2.6×l=26O（元），买300件花：2.6x100+2.2x200=700（元），买350件花：2.6×l+2.2×200+2×50=800（元），故答案为：260,700,800；（2）解：设购买这种商品X件，因为花费568<700,所以购买的件数少于300件，260+2.2（/100）=568解得：x=240,答：购买这种商品240件；（3）解：当260<j700时，260+2.2（0.45-100）=«,解得：=4000（不符合题意，舍去），当>700时，2.6xl（X）+2.2x200+2（0.45-300）=解得：n=1000,综上所述：的值为100O易错点4：一元一次方程之新定义例：在有理数范围内定义运算“"：ab=a+-t如：】（-3）=l+=1=-1.如果2热=X（+1）成立，则X的值是（）A.-1B.5C.0D.3【答案】D【分析】此题主要考查了元一次方程，新定义运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律.根据新定义1bna+F，将2x=X（+1）变形为方程，解之即可.【详解】解：+一,Y_11_1：2fX=X（+1）可化为2H-=X4,.cx-l2H=X2去分母得，4+x-l=2x移项，合并同类项得，-x=-3解得：x=3.故选D.变式h对任意四个有理数4力,Gd,定义新运算：“r=ad-bc,若一2：一：+1=18,则X=.cd-54【答案】-1【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解.【详解】解：依题意，-8x+5（x+l）=18.去括号、合并同类项得T3x=13解得：x=-l,故答案为：-1.变式2,【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若X是关于X的一元一次方程0r+A=ogO）的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且心y满足x+y=10,则称关于y的方程是关于”的一元一次方程的“友好方程例如：一元一次方程3x-2x-9=0的解是x=9,方程N=I的所有解是y=l或y=-l.当y=l时，+y=10,所以IyI=I是一元一次方程3x-2x-9=0的“友好方程”.【问题解决】（1）已知关于y的方程：2>-2=4；N=3.请通过计算说明哪个方程是一元一次方程3x-2xT3=0的“友好方程”？若关于），的方程Iy-Il=I是关于X的一元一次方程1-智卫=4+1的“友好方程”，求。的值.【答案】IM=3是3x-2x-13=0的“友好方程”（2）74 4【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用，首先解得X的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”；（2）首先求得），的值，再分别求得与其“友好方程”的X的值，进一步求得即可.【详解】（1）解：由3x-2x-13=0,解得x=13,由2y-2=4,解得y=3,，不是3x-2x-13=0的“友好方程”.方程IyI=3的解是y=3或产-3.