压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总 （教师版）.docx

压轴题06计数原理、二项式定理、概率统计压轴题六大题型汇总压轴题解读命题预测本专题考查类型主要涉及点为计数原理、二项式定理、概率统计相关的知识点。预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。高频考法题型Ol概率与数列结合问题题型02二项式定理相关问题题型03排列组合新定义问题题型04概率统计与导数结合问题题型05进制问题题型06条件概率全概率问题高分必抢题型01概率与数列结合问题递推数列与概率知识的交汇问题，解决该类问题应该注意的事项有：(1)做好互斥事件的划分，正确进行独立事件概率的计算；(2)借助待定系数方法建立不同事件概率间的递推关系，即构建递推数列；(3)正确运用数列求通项公式或求和的方法解决问题.1.(21-22高二下黑龙江双鸭山期中)足球运动被誉为“世界第一运动”.深受青少年的喜爱.为推广足球运动,某学校成立了足球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第九次触球者是甲的概率为匕，即Pl=1.则下列说法正确的个数是()(I)P2=O;(2)P3=;(3)=-Pn-1+i;(4)P9<P10.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】（1）与（2）能直接进行求解；（3）分析出要想第几次触球者是甲，则第（n-1）次触球的不能是甲，且第5-1）次触球的人，有T的概率将球传给甲，从而求出递推公式；（4）再第（3）问的基础上求出通项公式，计算出Pg,比较出Ao-P9=-3p9+=-W<0,从而判断出结论.【详解】甲传球给乙或丙，故P?=O，（1）正确；乙或丙传球给其他两个人，故P3=J（2）正确；由题意得：要想第九次触球者是甲，则第S-D次触球的不能是甲，且第5-1）次触球的人，有之的概率将球传给甲，故匕=/1-Pn-1）=一；Pn-I+C正确；因为&-Pn-I+J设&+入=-T（PnT+2），解得：A=-所以&一：=一Xp71T-J因为PIW=I所以6-共是以:为首项，公比是-T的等比数列，故4-；*（-3",所以4;Nb）"+故%=R4）8+；希，Cr»3r,1343,11,人Pin-Pa=Pg+-=X+-=VO,IU92y221282256'故P9>P10,（4）错误.说法正确的个数是3个.故选：C【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键.2. （23-24高三下山东荷泽开学考试）国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用8×8格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的1X2格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；棋盘上每一格都被骨牌覆盖；没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明8×8格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.国际象棋棋盘(1)证明：切掉8X8格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；(2)请你切掉8X8格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式,并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；记mXti格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为RTn,n),数列F(2,n)的前n项和为Sn,证明：Sn=尸(2,n+2)-2.【答案】Q)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据切掉8×8格黑白方格相间棋盘特征，即可得证；(2)易得8×8格黑白方格相间棋盘能够被红线分割为黑白方格依次相邻且首尾相接的“方格条"，再切掉其中两个黑白方格，即可得证；(3)易得完全覆盖方式数的递推公式为F(2,n+2)=F(2,n+1)+尸(2,n)(nN*),由累加法即可得证.【详解】(1)由于每块骨牌覆盖的都是相邻的两个异色方格，故棋盘的黑白方格数目相同是其能被骨牌完全覆盖的必要条件，但切掉8X8格黑白方格相间棋盘的对角两格后,要么黑色方格比白色方格多两个，要么白色方格比黑色方格多两个，故余下棋盘不能被骨牌完全覆盖;(2)切掉两个异色方格并作完全覆盖示例如图1;如图2,8X8格黑白方格相间棋盘能够被红线分割为黑白方格依次相邻且首尾相接的“方格条"无论切掉其中哪两个黑白方格，都会将"方格条”拆成一至两个“短方格条”，且每个"短方格条"中黑白方格的数目是相同的，都能够被骨牌完全覆盖，故余下棋盘能一定被骨牌完全覆盖；)周岛Ba早B-B-B-(3)如图3,可知完全覆盖方式数的递推公式为F(2fn+2)=F(2,n+1)+F(2,n)(nN*)其中F(2,l)=1,F(2,2)=2.从而F(2,3)=F(2,2)+尸(2,1),F(2,4)=F(2f3)+F(2,2),.,F(2,n+2)=F(2,n÷1)+F(2fn),累加得Sn+23=Sn+11+5n,移项得%=F(2,n+2)-2.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到递推公式F(2,n+2)=F(2,n+1)+F(2,n)(nN*),再利用累加法计算.3. (2024江苏常州模拟预测)某游戏设置了两套规则，规则A:抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于2,时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷.(1)若执行规则A,求抛掷次数恰为1次的概率；(2)若执行规则B,证明：抛掷次数的数学期望不大于3.【答案】:(2)证明见详解【分析】(1)先求出"抛掷一颗骰子1次向上的点数"构成的基本事件总数，再计算事件”向上的点数不大于2"的基本事件数，由古典概型的计算公式计算即可；(2)先写出随机变量抛掷次数X的所有可能的结果，写出它的分布列，计算其数学期望，计算过程用到了错位相减法.【详解】(1)若执行规则A,抛掷次数恰为1次，"抛掷一颗骰子1次结果向上的点数”构成的基本事件为：1,2,3,4,5,6,共6个基本事件；事件”向上的点数不大于2"包含的基本事件为：1,2,包含2个基本事件；由古典概型的计算公式得，若执行规则A,抛掷次数恰为1次的概率为：P=：=：.(2)若执行规则B,抛掷次数X的所有可能取值为1,2,3,n;显然抛掷一颗骰子1次结果向上的点数不大于2的概率为1大于2的概率为I,P(X=I)=IP(X=2)号x1P(X=3)=(，x,、2n11P(=n)=(5)5所以E(X)=：+2x：x：+3XG)ZX/+n(yF=ll+2×+3×Q)2+n()n1,设S=1+2W+3X©2+?IGyT，豹号+2(y+.+Mgn，-=1+Q)2+(If1-n(三)nr=ITy1.呜n=3_(3+n)G)n<3,得：SV9所以E(X)V3,问题得证.4. (2024浙江金华模拟预测)现有n枚硬币Q,Q,Cn.对于每个k(k=1,2,n),硬币Q是有偏向的，即向上抛出后,它落下时正面朝上的概率为短.(1)将C1,C2,C3这3枚硬币抛起,设落下时正面朝上的硬币个数为X,求X的分布列及数学期望E(X);(2)将这n枚硬币抛起，求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率.【答案】Q)分布列见解析，Em=第【分析】(1)借助相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列及方差定义计算即可得；(2)设将这n枚硬币抛起，落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率为外,由题意可得匕=Pn.1(1)÷P*)白，计算出Pl后结合数列的性质计算即可得.【详解】(1)用4表示第i枚硬币正面朝上，则不表示第i枚硬币正面朝下，其中i=1,2,3,X的可能取值为0、1、2、3,则P(X=O)=P(羽区)=(1-a)(1-康)(1-品)=黑=?P(X=D=P(砌+p)+3)=-(-八;(1-xt-1.X乙八乙iX/C八OIX+(1)(17)+7(1)(1)=P(X=2)=P(A1A2A+P(4诟4)+PmA24)=六vr(1-TVTT乙iX4X乙iX乙人3i+(1)+-(1)=,2+12×3+l2×2+l2×2+l2×3+l2+1/10535,P(X=3)=P(444)=+备1_12X3+1-7S则其分布列为:XO123P1635441054351105期望E(X)=0×÷l×-+2×-÷3×-=；j3510535105105'(2)设将这n枚硬币抛起，落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率为匕，则Pl=3,当Tl2时，有Pn=PZ(l-J)+(l-Pn->5,即4=黑Pn+念，即+1)匕-(2九-I)PnT=I,又(2+DP1=3X£=1，即数列(2n+1)6为以1为公差，以1为首项的等差数列，即(2几÷l)Pn=H,故%=肃P5. (2023河南开封一模)某市每年上半年都会举办“清明文化节"，下半年都会举办“菊花文化节"，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节"旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调杳据统计,有I的人计划只参加“菊花文化节"其他人还想参加2024年的"清明文化节"，只参加"菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节"的游客计划是否来年参加"清明文化节"相互独立，将频率视为概率.(1)从2023年初次参加“菊花文化节"的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；(2)2024年的"清明文化节"拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供"单车自由行"和"观光电车行"两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择"单车自由行”的概率为久若前一天选择"单车自由行"，后一天继续选择"单车自由行”的概率为"若前一天选择"观光电车行"，后一天继续选择"观光电车行”的概率为:，如此往复.(I)求甲第二天选择"单车自由行”的概率；(ii)求甲第几(n=1,2,，16)天选择"单车自由行”的概率匕，并帮甲确定在2024年"清明文化节”的16天中选择"单车自由行”的概率大于"观光电车行”的概率的天数.【答案】4(i)卜(ii)-+my(”=1,2,116);2天【分析】(1)由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；(2)(I)利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率.；(ii)由题意，求分与Pn-I的关系，通过构造等比数列，求出&,再由匕>:求出对应的n.【详解】(1)由题意，每位游客得1分的概率为I,得2分的概率为；，随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3,4,5,6,P(X=3)=C，P(X=4)=C；x(/x>P(X=5)=CXGyXP(X=6)=Gy=V则E(X)=3X盘+4xg+5xg+6x/=4.