矢量运算(梯度、散度、旋度)与拉普拉斯算符公式整理.docx

拉普拉斯算符拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处,见。在量子力学中，其代表薛定评方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和目数：拉普拉斯算子是很奇理论的核心，并且是想拉女上同调的结果。f=v2f=VV旋度矢量化为矢量）旋度是向量分析中的一个向黄兑子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度,这个向址提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环Q的旋转轴.它和向员旋转的方向满足右手定那么.就A的环量而密度（或称为环盘强度）。旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿个闭合曲线的环量。如果一个向髭场中处处的旋度都是零，那么称这个场为无旋场或保守场CirCA()=/Adi环量JrcurlA)n=Iim,/Adi或TllrlA=VxAA(z.V.Z)=P(x,Uz)l+Q(x,V.ZH+R(x,v,z)k嚼g÷=fkiQi£&Pcurl(OF÷bG)=acurl(F)+bcurl(GV×(9F)=(V(p)xF+9xFVx(FxG)=(GV)F-(VF)G-(FV)G+(VG)FdivEradf=f=铲f.斯托克斯定理：在欧氏3维空间上的向址场的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线枳分之间建立了联系。具体就是，向量算J'7（nabla）表示向量微分算G】梯度（标量化为矢量）敏度（矢量化为标量）数学解择在向单:微枳分中，标愤场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标St场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。同时也可以求出变化不是最快的那个方向上的倒数，梯度点积该方向上的向量即可。散度是向量分析中的一个向母弟子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是会聚点还是发源点，形敦地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。物理解择考虑一座高度（1,y）点H（1,y）的f3这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。散度是通盘的体密度物理上，散度的意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零那么表示向量场在这一点或区域有通量源灭。散度等于零的区域称为无源场或管形场.相关概念a()=JAnds通rdivA(x)=IimJdS记法gradp=<rlhA=V.AA(z,y,外=P(x,V,z)i+0(工、跖ZH+R(x,y,z)k三维直角坐标系。=（患鬻闺ACAapQ8RdlvA=VA-+而+而柱坐标WSMZ）=肛+摆，+肛IfcA=yA=/+；第+空球坐标V1.-S+浙+，血御dha=A=；卬rji)+二*线性法那么的/+MA)Of（八）Og（八）A-c,i)A+SAMA=OA=;而(Mr)+；瓯+石乘积法那么”(4)g(4)UAA)1.伸div(vjF)=Gad(9)F+3div(F),V6F)=(V9)F+9(VF).商法那么啜舄m鬻W锣高斯敢度定理：对某一个体积内的散度进行积分，定理就应该得到这个体积内的总通量.jjjdivAdv=£AndSV向量场A在某个曲面的封闭边界线上的闭合路径枳分，等于A的旋度场在这个曲面上的积分/(VxA)dS='AdJJsJasBy春晓