相似三角形的综合应用(提高).docx
相似三角形的应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算.2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【知识回忆】一、相似三角形的性质1对应边的比相等，对应角相等.2相似三角形的周长比等于相似比.3相似三角形的面积比等于相似比的平方.4相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.二、相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例或等积式；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度.如求河的宽度、求建筑物的高度等.【典型例题】例1：如图，AABC是一块锐角三角形余料，边BC=I20mm,AD=80mm,要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，（1）假设这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）假设这个矩形的长是宽的2倍，那么边长是多少？【同步练习】如图，ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm,BC=IOcm,现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上.试求正方形的边长是多少？例2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一局部影子落在教学楼的墙壁上（如图2）,墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一局部落在教学楼的第一级台阶上（如图3）,测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m.图1(1)在横线上直接填写甲树的高度为米(2)求出乙树的高度(画出示意图).(3)请选择丙树的高度为()A、6.5米B、5.75米C、6.05米D、7.25米(4)你能计算出丁树的高度吗？试试看.【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m,如果小明得身高为1.6m,求路灯杆AB的高度.CM=nAMfBM交AD于N点。那么则=。ND例3：如图，AD是AABC的中线，M是边AC上的一动点,AN如图，假设=1，那么一=o如图，假设=2,NDAN如图，假设=3,那么二。AN猜测，也与存在怎样的关系？并证明你的结论。NDM,一ANCM当=时，恰有=NDNDAM【同步练习】如图，DE是AABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N,那么SaDMN:S四边形ANME二例4：如图，在AABC中，ZA=90o,3C=10,A5C的面积为25,点。为A5边上的任意一点(。不与A、8重合)，过点。作OE3C,交AC于点E.设DE=X,以DE为折线将翻折(使AADE落在四边形DBCE所在的平面内)，所得的4A'DE与梯形03CE重叠局部的面积记为y.(1)用X表示AADE1的面积；(2)求出0vx5时y与X的函数关系式;(3)求出5vxvlO时y与X的函数关系式；(4)当X取何值时，y的值最大？最大值是多少？【同步练习】如图，矩形48C。的边长A8=2,BC=3,点P是4。边上的一动点(P异于A、O),。是3C边上的任意一点.连42、DQ,过P作PE。交A。于£,作P尸AQ交。于E(1)求证：&APEsXadq.,(2)设AP的长为X,试求APE尸的面积Sapm关于X的函数关系式，并求当P在何处时，SAPEF取得最大值?最大值为多少？例5：等腰4ABC,AB=AC=8,ZBAC=120o,P为BC的中点，小慧拿着含30。角的透明三角板，使30。角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.(1)如图a,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证：ABPE-ZkCFP;(2)操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、探究1：ABPE与ACFP还相似吗？(只需写出结论)探究2：连结EF,BPE与APFE是否相似？请说明理由;设EF=m,ZkEPF的面积为S,试用m的代数式表示S.【同步练习】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点、C,ZDME=ZA=ZB=a,且OM交AC于尸，ME交BC于G.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结尸G,如果a=45。，AB=4近,AF=3,求产G的长.例6：如图，抛物线y=/+加;+C与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为(1,0),7过点C的直线y=二X3与X轴交于点。，点尸是线段BC上的一个动点，过尸作PH_1.OB于点H.假设P8=5b且OVy1.(1)填空：点。的坐标是,b=,C=：(2)求线段QH的长(用含，的式子表示)；(3)依点P的变化，是否存在/的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与ACOQ相似？假设存在,求出所有f的值；假设不存在，说明理由.Ci稳固练习1.ZABC中，CZ)J_A5于。,一定能确定aABC为直角三角形的条件的个数是()Nl=ZA器=岩，N8+N2=90°,8C：4C：AB=3：4：5,ACBD=AC8A.1B.2C.3D.42 .如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形AADE,EB,CE分别交AD于点G,H.设CDH,GHE的面积分别为S,S2,那么()A.3S1=2S2.B.2S1=3S2C.2S1=3S2.D.3S,=2S23 .如图，在RtAABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，那么a,b,c满足的关系式()A.b=a+cB.b=acC.b2=a2+c2D.b=2a=2c4 .某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图,在RSABC中，ZC=90o,AC=30cm,AB=50cm,依次裁下宽为ICm的矩形纸条a、a?、a3，假设使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm,那么每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是()A.24B.25C.26D.275 .如图，点A，A2,A3,Al在射线OA上，点4，B?4在射线OB上，且A4%?入%,A2Bi/A3B2/AiB.假设ZA38283的面积分别为1，4,那么图中三个阴影三角形面积之和为.6 .在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.铁塔底座宽CD=12m,塔影长DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m,同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m,那么塔高AB为()A.24mB.22mC.20mD.18m7 .正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、C。上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明：RtAABMRtMCV；(2)设BM=%,梯形ABCN的面积为y,求y与X之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；当M点运动到什么位置时RtZA8MsRizvimn,求X的值.
