奥赛培训《动力学》.docx
奥赛培训动力学1、台球在球台边缘A点,其位置及球台尺寸如图所示(a、b、c已知),要使该球经过两次与边缘的碰撞后进入B洞,问应该往什么方向开球。设球与边框的碰撞是弹性的。2、树上有一只松鼠,远处一猎人瞄准它射击,松鼠看见枪口的火光后立即(自由)下落,试求当子弹的初速度满足什么条件时,总能击中松鼠。3、细杆AB长1.,两端分别约束在X、y轴上运动,(1)试求杆上与A点相距a1.(0<aVI)的P点运动轨迹;(2)如果VA为已知,试求P点的X、y向分速度VPX和VPy对杆方位角的函数.4、有一只狐狸以不变速率V1.沿着直线AB逃跑,一只猎犬以不变的速率V2追击,其运动方向始终对准狐狸,某时刻狐狸在F处,猎犬在D处,FD1.AB,且FD=1.试求此时刻猎犬的加速度大小。V25、顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由凸轮推动,凸轮绕O轴以匀角速度转动,.在图示的瞬间,OA=r,凸轮上橡与A点接触处法线n与OA之间的夹角为,试求此时顶杆AB的速度。6、模型飞机以相对空气V=39kmh的速度绕一个边长2km的等边三角形飞行,设风速u=21km/h,方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同,试求:飞机绕三角形一周需多少时间?7、某质点从倾角为a的斜面上的0点,沿一光滑斜槽OA静止开始下滑,要使它达斜面时所用的时间极短,问斜槽应该与竖直方向成多大的角度。8、轻绳的一端连接于天花板上A点,绳上距A点为a处系有一个质量为m的质点B,绳的另一端跨过C处的定滑轮(滑轮的质量可以忽略,C与A在同一水平线上)。某人握住绳的自由端,以恒定的速率V收绳。当绳收至图示位置时(B两边的绳与水平线夹角分别为a和B),求右边绳子的张力。B9、汽车重量为G,其重心离前轮(轴所在的竖直线)和后轮(轴所在的竖直线)分别为h和1.(1.2>1.),重心离地面的高度为ho试求:汽车以多大加速度a前进时,其前、后轮对地面的压力相等?10>均质半圆形金属拱架ACB,圆心在O点,质量M=IOoOkg,A端与地面的较链相连,B端搁在滚珠上。现有一质量m=500kg的物体从顶点C无摩擦滑下,当它滑到D点时(已知/COD=30°),试求A、B两处对拱架的作用力。II、顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由凸轮推动,凸轮绕O轴以匀角速度3转动,在图示的瞬间,OA=r,凸轮上橡与A点接触处法线n与OA之间的夹角为,试求此时顶杆AB的速度。O11Vom-hm2O12、如图所示,质量为M的圆形滑块平放在桌面上,一轻绳跨过滑块后,两端各挂一个质量分别为向和的物体,两物体通过平行的绳子悬垂在桌面外边。不计所有摩擦,试求圆形滑块的加速度。13、10个相同的扁木块一个紧挨一个放在水平地面上,每个木块的质量m=0.40kg、长度1=0.50m、与地面的摩擦系数=0.10,它们原来都静止。另有一质量为M=1.Okg的小铅块,与木块的摩擦系数2=020,以Vo=4.3ms的水平初速度冲上左边的第一个木块。忽略铅块的大小,试问:铅块最终会停在哪一个木块上?14、在半径为R的水平转台边缘放一质量为m的物块,当转台的转速增大到no(即每秒no转)时,物体被抛出转台。若在转台上物块所在半径的中点再放一个相同的物块,并用不可伸长的细绳将这两个物块连接起来。试问:(1)转速增为1.1.nO时,细绳的拉力T为多大?(2)转速为多大时,两物块会在转台上滑动?15、用细杆把质量为M的圆环固定起来,其顶部套有两个质量均为m的小环,它们之间无摩擦。现给两小环一个微小扰动,令两小环分别从左、右两边下滑(不计初速)。试讨论:m和M满足何关系时,大环有上升或下降的趋势。M16、在光滑水平面上放一个质量为M3的平板,板上放一个质量为M2的、倾角为的斜面体,斜面上另有一个质量为M1.的长方体。已知M1.和M2之间的摩擦系数为阳,M2和Nb之间的摩擦系数为2。现有一水平恒力F作用在M3上,试问:F为多大时,三物可以保持相对静止?提示与答案1、提示:球不可以与右边框碰撞;镜像法,求A在左边框成像A1.,再求A1.在上边框成像Azo答案:与下边框夹锐角。=arctg3-。a+c2、提示参见右图,令树高h,与人的水平距离为1。将斜抛位移S分解为就t与ggt?的合成显然Vot=12+h2,-gt2<h2答案:速度VO>屈娈(其中h为树高,V2h1为人与树之水平距离)。写成参数方程M清黑。后消参数°。(2)解法有讲究:以A端为参照,则杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右图,应有V牵=VaCOS,V杓=VA丝?,可知B端相sin,对A的转动线速度为:V转+VASin0=VAosin°P点的线速度必为告=Vwsin所以vpx=V相CoS+Vax,Vpy=VAy-v相Sin0答案:(1)+XVT=1,为椭圆;(2)Vpx=aVACtg,Vpy=(1a)va(>(a1.)2(1.-a)21.?另解(2):继续参照上图,对杆设瞬时转轴0,有空蛙=VA8s6ctg6,得rr1.-r=1.sin2。及a=VAo那么P点之V转=(ra1.)=VA(sin)。且V奉=1.sinsinVC0SO最后P点之VPX=V牵SinV转CoS,VPy=V聿CoS+V转SinO这样仍得上答案,但过程比较繁复。培训过程中,学员对第(2)问的解法建议一一苏宏然:寻求UB有捷径一一B参与参照物A的向下运动和相对A的(垂直杆的)转动,但合速度水平向右。参见图1,可不涉及VB的大小直接求V转=-,再循“原思路”解sin结果(此途径亦可选B点为参照)答案:岩O图1图2图3孙海燕:设杆有“微小形变”,则以A为轴,VB和VPX直接遵从相似三角形关系(见图2),即Vpx=avB=av.ptg。解VPy则认为“形变”发生在A端,参见图3,与上面同理VPy=(1-a)Va4、提示一设极短过程,对应时间,猎犬速度的矢量减法如右图。C.a2v,sinWa=2.(O>0)ttv1t»1.5、提示:微元法,此题过简。答案:rtgOo6、提示三角形各边的方向为飞机合速度的方向(而非机头的指向);第二段和第三段已大小相同。参见右图,显然:V2=+U22v合UeOSI200可解出V台=24kmh。答案:0.2hour(或12min.)o7、提示:针对右图中的三角形,用正弦定理,有,=,即S=he。Sassin(+-a)8s(a训而a=geos,t2=a解(三角函数积化和差处理),得2_4hcosgcosa+s(a-2)答案:B=>8、提布s本题考查圆周运动动力学。参见下图,为求法向加速度an1.和an2,先看切向速度Vx1(a+ ) = m an(a + B ) = m a2左边动力学方程:TimgsinaT2c0s左边动力学方程:T2mgsinBTicos约束方程:二)二上snSina解,经艰苦化简后,得T2的表达式cosa.cos(a+B)",sins(a+)1.mv2合杀:二一mg+1H0sn(a+)sin(a+)sinaa9、提示:非惯性系中的转动平衡,惯性力F*需补充运算过程比较简单。答案:-g02n10、提示CfD过程能量守恒ymv=mgR(Icos30o)在D位置动力学方程mgcos30oNd=mR从这两式可以解得:Nd=Wfmg对拱架,以A为转轴M=0(注意B处只能提供竖直向上的作用力),即一Nb2R=MgR+NdRcoscos30o,这样NB就解决了。解NA还得对拱架用ER=O和Fy=O,即NAX=NDX=NDSin300=*1495NNAy=Mg+NDy-NB=X6295N最后Na=JNiX+Niy,NA和竖直方向夹角6=arc1.g乎。答案:A处的作用力大小大小约6470N,方向竖直偏右13.4°斜向上;B处作用力大小约6295N,方向竖直向上。11、提示:牛顿第二定律是相对惯性系的定律!m2相对非惯性系m有加速度日(向上),m相对惯性系O有加速度式(向上),故m2相对惯性系O有加速度a22答案:m2g+m2(+)012、提示微元法分析(参加右图)a=生旦2m1g-T=m1.a1.隔离方程三个,4-丁=!%,联立求解即可。2T=Ma答案:7g.4m1m2+M(m1+m2)13>提木初始上木块后,木块不会动;设滑上第n块时开始动,有2Mg>Mg+(10n+1)mg得n>8.5(即第9块开始滑动)M滑上第9块时,匕一襦=2(-2g)81,得匕=2.49(ms)2而第9、第10块(整体)的加速度a2m=出2弛1=0.25ms2(向右)M相对这个“整体”的相对加速度a相=aM+a2m=2.25ms2(向左)假定M能够发生大小为1的相对位移,并设末态相对速度为V招,有vja=V、+2(a«)1=0.24v>0,说明上面的假定成立,M能够滑过第9块木块!但在第10块上a%>a相,而VAV匕,相对位移必小于1,故不能滑过第10块。答案:第10块上。14、提示(1)转速no时,对m:加=mto:R=4兀21n:R转速为1.Ino时,对外圈m,T用来补偿应增加的向心力(假定内圈m未被T拉动),故T+fm=mcR=4.84n2mnjR解得:T=0.84nn:R<fm-,(说明上面的假定成立)(2)临界情况为内圈m有最大的滑动趋势,此时对内m:fm-T,=m42j2对外m:T'+f1=m4兀2试R解式即可。答案:(1)0.842mn;R;(2)迈n0。315、提取参照下页图,设小环滑到方位角。时的瞬时速度为V。隔离右环,动力学关系:mgcosO+N=mR能量关系:gmv2=tngR(1.-s)解得:N=mg(2-3cos)要大环有上升的趋势,须满足2NcosO2Mg解得大环上升的条件,CM-6s+4s讨论:I,COSO=!时,右边有极小值3,对m的要求低321RII,cos6-时,右边大于工,对m的要求高32再讨论:将联立后得不等式6mcos2-4mcos+MW0,其解为一2m-4m2-6mMVcos。V2m+4m2-6mM6m6m(式的物理意义“昭然若揭”!)答案:当mVTM时,大环只有下降趋势;当m=TM时,大环在唯一位置(O=arcc°s3)有上升趋势,其它位置均只有下降趋势;当m>M时,大环在一个范围内(这范围由2决定)有上升趋势,其它位置则有下降趋势。16、提示设M1.与M2之间的最大静摩擦角为6I,Nh与M3之间的最大静摩擦角为。隔离M,易得M1.与M2能维持相对静止的共同加速度范围是(gtg(-),gtg(+);但看M2、Nh的接触,M3可能“提供”给M1.和M2整体的加速度范围是10,gtg2)讨论: