专题跟踪检测（十一）“立体几何”中的空间角与距离问题.docx
专题跟踪检测(十一)“立体几何”中的空间角与距离问题1.(2023潍坊一模)如图，在四棱锥尸一ABCO中，底面ABC。是边P长为2的正方形，PC工PD,二面角ACO一尸为直二面角.求证：PBLPDx/(2)当PC=P。时，求直线PC与平面附8所成角的正弦值.解：(1)证明：由题意知平面PCoJ平面ABa),又平面PCo平面A8CO=CD,BC±CDfBCU平面ABC。，所以BCL平面PCO.因为PoU平面PC。，所以BC工PD.又因为PCLPD,BCQPC=CtPCU平面PBc8CU平面P8C,所以PDJ平面P8C.因为PBU平面P8C,所以PDLPB.(2)取CO的中点O,连接PO,取AB的中点E,连接OE因为PC=Pz),点。是CO的中点，所以Po工CD.T又因为平面PCz)J_平面ABa),平面PCO平面ABCO=CO,POU松口平面PCD,所以PO_L平面ABCD.t'6"''Ey因为点。，E分别是CO,A8的中点，所以OEA。，OE±CD.C则。A=；CO=I,0E=AD=2.以点O为坐标原点，OD,OE,OP所在直线分别为y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，»'0(0,0,0),C(-1,0,0),8(1,2,0),P(0,0,1),A(l,2,0),AP=(-f-2,1),AB=(-2,0,0),PC=(-1,0,-1).nAP=X2y+z=0,设n=(x,yfZ)是平面以8的法向量，则，取)，=1,则z=2,nAB=-2x=0,所以n=(0,l,2).设直线PC与平面PAB所成的角为仇则sin=cos<n,-2=迎5×2=5所以直线PC与平面以8所成角的正弦值为华.2.(2023绮泽一模)如图，直四棱柱ABCf>-A8CN中，ADlCD,AD/BC,AD=CD=2,BC=3,A1C与BlDi交于点EfG为棱BBl上一点，且88=33G,点CI到平面48。的距离为当g.(1)判断AG是否在平面4E。内，并说明理由；(2)求平面ADiE与平面AAiDi所成角的余弦值.解：(1)AG不在平面AEDI内.理由如下：以4为坐标原点，过A作与AO垂直的直线为X轴，ADtAA所在的直线分别为y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为小，则Q(0,2,0),B(2,-1,0),C(2,2,m),(0,0,n),又洒=(2,1,一6)，AC=(2,2,0),7S=(O,2fm).2xi-yi-wz=O, 即I取(2y-wz=0,AB=0,设平面A13£)的法向量为n=(x,y,Zi),则,D=0,11i=(3m2%,4).“、，E匚,In6-+4川10|训OHm所以点C到平面ABD的距的(1r>>',f=I=17,解Inl9w2+4+1613zr+1617得川=2设平面ABQl的法向量为n2=(M,y2tZ2),由丽=(2,-1,2),而T=(0,2,2),2X2-J2÷2Z2 = O,即2"+2z2=0,取 2=(-3, 2,2).2Afif=O,得J_>112Ad=0,而急=(2,-I,所以而n2=2X(-3)+(-l)X(-2)+X2=-gw.又AS与4E,AO共面，故直线AG不在平面AEQi内.(2)由(1)知平面AED的一个法向量为n2=(-3,-2,2),易知平面AAD的一个法向量为n3=(1,0,0)._3 _3-9÷4+4×l * 112113设二面角E-AQ4的平面角为Q,则COSa=In2n3故二面角E-AD-A的余弦值为今甲.A3.在三棱锥P-ABC中，7¾=4,AB=2§,BC=2,B4_L平面ABC,AB±BC,。为Ae的中点，点E在棱PC上(端点除外).过直线OE的平面与平面以8垂直，平面与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.(1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；(2)若PE=3EC,求点C到平面的距离.解：取AB的中点M,连接。M,作EFBC交.PB于点、F,连接PMF,则四边形OM在即为所求.如图所示.(2)以点A为坐标原点，过A垂直于平面BAC的直线为X轴，AC,AP所在直线分别为y轴，Z轴建立空间直角坐标系，如图所示.4因为48_LBC,AB=25BC=2,所以AC=4,ZBC=30o,AM=豆AB=小,P所以岭0),D(0,2,0),C(0,4,0).因为以=4,AC=4,PE所以E(0,3,l),故百=(0,-1,1),前=崖，一j,"DE=(0,13).设平面OME的法向量为m=(x,y,z),mW=o傅l%=o,则有T叫2ym-DE=0,l>+z=O,令X=1,则y=小，z=#,所以m=(l,小，3).mCIlI2392I所以点C到平面的距离d=窄=+f.m774.(2023全国乙卷)如图，三棱锥尸一ABC中，ABlBC,AB=2,PBC=22,PB=PC=#,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,/AO=小。，点尸在AC上，BFLAO.AJe(1)证明：E尸平面40。§之心c(2)证明：平面AOo_L平面BEF；多*(3)求二面角D-AO-C的正弦值.解：(1)证明：设A尸=fAC,K1BF=BAAF=(-t)BA+tBC,AO=-BA+笆.因为BFLAOt所以后常=(1一力词+f铤卜(一切+?)="-1)词2+3C2=4(r-l)+4r=0,解得=g.所以尸是AC的中点.又E是AP的中点，就以EF"PC,同理可得PC所以EFOD,又OOU平面AOO,EFC平面ADO,所以EF平面ADO.(2)证明：易得AO=NAB2+BO2=#,0。=；PC=半，又AD=yD=早,所以Ao2=AO2+o02,所以AOLOO.由于E产。，所以AojLE/，又87JLA0,BFHEF=F1BFU平面BEF,EFU平面BEF,所以Ao_L平面BEF.又AoU平面ADO,所以平面ADOL平面BEF(3)如图，以8为坐标原点，84,BC所在直线分别为X,y轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),4(2,0,0),0(0,2,O),AO=(一2,2,0).因为PB=PC,BC=22,所以设P(x,2,z)tz>0f则延=切+*=M+J*=(2,0,0)+Ta2,2,z)=(±2也2,2t2Jt由(2)知A0L8E,所以三万8=(-2,y2,0)("，,孝，$)=0,所以X=-1,叉PB=#,BP=(xt2,z),所以f+2+z2=6,所以z=5,则P(-l,2,3).由O为BP的中点，得半，弓)，则又方=(一,乎，坐设平面DA。的法向量为巾=3,b,c)fn AD =0, 则T _ A(f =0,一羡a+哗b+雪c=0,r-222得y=y2a,c=y3af2a+啦6=0,取4=1,则巾=(1,2,3).Inrn2l_S_ gIniIln2I 6 2易知平面CAO的一个法向量为2=(0,0,1),设二面角。一Ao-C的大小为仇Mcos<9=cosn,n2I=所以SinJ=1-'=乎,故二面角D-AO-C的正弦值为坐.5.(2023潍坊二模)如图，圆台OO2上底面半径为1,下底面半径为2,AB为圆台下底面的一条直径，圆。2上点C满足AC=BC,是圆台上底面的一条半径，点、P,C在平面48O的同侧，且PoiBC.(D证明:OlQ平面Z¾C;(2)从条件、条件中选择一个作为已知，求直线Aol与平面PBC所成角的正弦值.4L条件：三棱锥。一ABC的体积为余条件：AOl与圆台底面的夹角的正切值为解：(1)证明：取AC的中点M,连接QM,PM,如图所示.由题意，得Pol=1,BC=当AB=2.又POi/BCtPO1=BC,O2M/BCfO2M=BC,故。1。2例，P0=0M,所以四边形POiChM为平行四边形，则PM。1。2.又PMU平面PAC,。1。2平面PAC,故OiQ平面PAC.(2)选择条件因为SMC=IACBCvX2X2=2,I4又OQ2,平面ABC,所以三棱锥O1-ABC的体积V=WXSAabcXOiQ=予所以OiO2=2.选择条件因为OIo2,平面ABC,所以NoIAO2为A0与底面所成的角，所以1211/0自。2=，2.又402=啦，所以OlO2=2.以。2为坐标原点，。2伉O2C,。2。|所在直线为X,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，B'(-2,0,0),(2,0,0),C(0,2,O),N乎，乎，2),01(0,0,2),故和=(加，0,2).设平面PBC的法向量为n=,yfz),因为同=(一&,2,O),CP=(一室一堂,2),故nC=-2x+2y=0,nCP=-喙L当v+2z=0,令z=l,解得X=I得n=(a,2,1).设所求角的大小为仇则Sine=ICOS(AO,nI=I='2匕=2嗜5nAO6×515所以直线Aol与平面PBC所成南的正弦值为圆序.6.(2023合肥二模)如图，三棱台AC-ABC,ABlBC,AClABBBt平面A88A_L平面ABC,AB=6,BC=4,BB=2,AG与Ac>×rry*相交于点O,AE=2EB,且OE平面BCG田.(1)求三棱锥C-AiB1Ci的体积；(2)平面A/C与平面A8C所成的角为,CG与平面4BC所成的角为人求证：a+_n=不解：(I)：平面A884L平面48C,且平面A884G平面ABC=A8,AB±BCtBCU平面ABCt.BCL平面483A.83U平面ABBiAi,.8CL48.又ACj_8力，C4C=C,BC,AeU平面ABC,_L平面月BC连接C8,YDE平面BCCB,DEU平面ABCI,平面48G平面BCGBI=G8,DECB.VAE=2EBt.AD=2DG.AC=AC.高/7=881=2,其在三棱锥C-AiBlCi中，底面4A8G的面积Sl=TX2X3=3,体积为V=5=×3X2=2.(2)证明：由题意及(1)得，以8为坐标原点，分别以同，函的方向为X,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.A(6,0,0),C(OAO),(0,0,2),4(3,0,2),C(0,2,2),则瓦有=(3,0,0),熊=(0,4,-2),CC=(O,-2,2).设平面481。的法向量为n=(4,y,z),由nBA=3x=0,取y=l,则n=(0,l,2).n-i?=4y2z=0,n丽I425.易知平面ABC的一个法向量为BS =(0。2),.cosa=7=-.sm=InII的IW'I
