重难点5-2数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

重难点52数列前n项和的求法数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考杳错位相减法求和,解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问。近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算(错位相减、裂项相消)的考直，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和。题型1公式法求数列前n项和题型5错位相减法求数列前n项和题型2分组法求数列前n项和o/1=>题型6裂项相消法求数列前n项和数列前n项和的求法题型3并项法求数列前n项和-/x×7>题型7含绝对值数列的前n项和题型4逆序相加法求数列前n项和JX、一题型8数列求和与不等式综合【题型1公式法求数列前n项和】满分技巧(1)等差数列对的前n项和SZf="J=叫+里磬,推导方法：倒序相加法.nax><7=1(2)等比数列”的前项和Sn=a-qn)I，推导方法：乘公比，错位相减法.,9t71(3)一些常见的数列的前n项和：Zk=1+2+3+n=-n(n+l)；工22=2+4+6+2n=n(n+1)&=i2*=f(2&-1)=1+3+5+(2n-l)=n2；*=k2=I2+22+32+n2=-n(n+)(2n+)；jt=6(SX=l3+23+35+.+=2k=2【例1】(2023.广东珠海.统考模拟预测)已知4为等比数列，且4,>0("N'),若q=29+%=12.(1)求数列的通项公式；(2)若a=2Iog2an+求数列的前项和SfJ.【答案】(1)q=2”(eN);(2)5.=2+2(江)【解析】(1)设等比数列4的公比为夕，则依题意有：2+2=12,即/+g_6=0,解彳导。=2或4=一3(舍去)所以勺=2'2"7=2"("4),(2)all=2,/.bn=21og2an+=21og22+1=2z?+1,%一2=2(+1)+1-(2+1)=2,且4=2xl+l=3,，也是首项为3,公差为2的等差数列，.SlMJ3+j+I)="+?”.(一N)【变式2】(2023.宁夏银川高三校联考阶段练习)设正项等比数列4,q=81,且色必的等差中项为9耳(4+生).(I)求数列q的通项公式；(2)若a=Iog3O2n.,数列也的前项为S”，数列t满足%=行匕，为数列%的前项和，求Tn.【答案】(1)4=3(2)7>三2w+l【解析】(1)设等比数列叫的公比为4(4>0),由题意，得I"4；""："解得,则a'=*=3aq+axq'=9(a1+axq)14=3所以数列的通项公式q=3”.(2)由(1)得"=log2z=2-1,显然数列%是等差数列，因此SLF=笔a=2,AdTk÷7，所以4T(IY)+&T+(4y=右.23352n-2w+l2+1【变式1-2(2023.山西校考模拟预测)已知等差数列也满足生=3%=2%-5.(1)求,的通项公式；(2)设数列步“的前项和为4,且",若图>360,求加的最小值.【答案】(1)2«-1;(2)IO【解析】(1)设等差数列血的公差为"，则q+8d=2(4+5d)-5解得VLd=2，故q,-a+(n-l)J=2-l.(2)由(I)可得=2+1,贝股“=(2+1)2-(2-1)2=8，所以2-4“=8(心2),则数列也是是等差数列，Irk（8+8）,故，=-=4，?-+4.因为Z”>360l所以4，+4/>360,所以4（机+10）（利-9）>0,所以?>9或7<-10.因为zN+,所以力的最小值是10.【变式1-3】（2023四川德阳统考一模）已知首项为3的等比数列%的前项和为S-且-S2,S4,3S3成等差数列.（1）求数列q的通项公式；（2）求数列卜”+j的最大项.【答案】（1）%=出“；（2）3【解析】（1）由题意得2S4=Y+3S3,3设公比为g,若q=l此时s=2,S2=1,S3=5,此时不满足2S4=-S2+3S3；故Iw=如"1(W),即2/_3/+/=。，1-q-q-q由于9工°,故2-3q+l=0,解得q=g或1（舍去）,由对勾函数可知y=f+:在Y会1）上单调递减，故当时，y=f+；取得最大值，最大值为;+2=,故数列卜“+9的最大项为T【变式1-4】(2023山西临汾校考模拟预测)在数列4中，4+4=4,且=3".(1)求4的通项公式；(2)设S,为q的前项和,求使得Sa>2023成立的最小正整数的值.【答案】(1 ) q =3斤,为奇数“；(2)133彳,为偶数【解析】(1)由的用=3"可得见+2%=3川，所以乎=3,un所以q的奇数项以及偶数项均为公比为3的等比数列，由4+%=4得%=1,%=3,由ala2=3,则生=3f因此4的奇数项以I为首项，3为公比的等比数列，偶数项以3为首项，公比为3的等比数列，a2n=r,a2n,l=3m,33/为奇数故凡=",3"为偶数I-T/(一)sin=(a+a3+a2n-)+(a2+a4+2J=j27+=2(3"-1)，I-J1D(n此时S,=232-I若Sfj>2023,贝()23-1>2023,故陋,/2由于/()=3觊单调递增数列，且/(14)=3'=2187J(12)=36=729,所以此时满足3h等的最小的为14,，n-1、-T当为奇数时，此时s.=Si+凡=23-l+3,/由S”>2023,贝12卜？一1)+3->2023,故2x3等+3*=3x3*>2025，由于g()=3x3号为单调递增数列，且g(13)=336=3729>2025,g(ll)=335=3243v2025f所以此时满足3>2023的最小的为13,综上可得使得3>2023成立的最小正整数为13【题型2分组法求数列前n项和】满分技巧(1)适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.(2)常见类型：若an=bn±Cn,且bn,C"为等差或等比数列；bn,"为奇数，通项公式为On二的数列，其中数列6,6是等比数列或等差数列.Cn,n为偶数2【例2】(2023山西忻州高三校联考阶段练习)已知数列q的前项和为工，,3Sn+1=2Srt-2(eN*).(1)求4的通项公式；(2)设数列出,匕满足，=1OgNF"),cn=an+bn,求数列6的前项和小【答案】(I)q=-停J；(2)7；=2目色产【解析】(1)由题意可得广；(2),两式作差，得九川=2q,(“2),13Sz,=2S.T-2a14l2则,=4(n2),UnJ24当=1时，3S2=2S1-2,即3(4+%)=2q-2,将q=-Q代入，解得出=一§,则?J,适合乎(2),所以乎4，"N；uJunDanj2?所以6是以-:为首项，专为公比的等比数列，所以=-(|).(2)由(1得)”=吗(-%)=TOgI)=一"，.=，+""TT)n'故停卜用2削一口“(9+S+符+H卜“2+3+(J】吧lj1-z3=一2+2/等=21步/.【变式2-1】(2023江苏无锡高三校联考阶段练习)已知数列4的前项和为S“，且5"+2"=2%+l.(1)求数列4的通项公式；(2)求数列仔+(-1)j3”(wN)的前项和Ta.【答案】(1)凡二小犷；(2)T=L2+L?+w444【解析】(1)由Sfl+2"=2q+l当=1时，S+2=2%+l,所以=1当2时，S+2=2%+l式相减得勺+2”“=2勺-2。2,即6-2zt=2"两边同除以2"得，=又卜；,所以数列娶是以*为首项，T为公差的等差数列，4=；+g(-1)=,则勺=.2-(2)/=,可知数列5是以3为首项，W为公差的等差数列，可知数列(T)"3"是以3为首项，-3为公比的等比数列，7L=÷1+g)+3+(-9)+27+(-l),+'3w唯用+北朝,"2+L+止朝21-(-3)444【变式2-212023.江西贵溪高三贵溪市实验中学校联考阶段练习)已知数列,的前项和为S.闩=2,等比数歹Ua的公比为2,Snbn=n22n.(1)求数列4,d的通项公式；M为奇数(2)令为偶数,求数列G的前10项和.【答案】(1)an4n-2,bn=2n-l;(2)772【解析】(1)当=1时，SM=2,Sl=2,bl=l等比数列出的公比为2,则有"=2",由SfA=-2"，可得S.=22.当2时，anSn-Sn.i2nz-2(n-)24n-2.经检验，当=1时，4=2满足上式，所以为=4-2.o_14-2,"为奇数(2)q=12"T为偶数，设匕的前10项和为几，.TJo=(4+q+t¾)+(+40)=5x(2+34)+2x04)=772.21-4【变式2-3】(2023.广东广州.统考模拟预测)设数列为的前项和为S“，S5n=2-1.(1)求数列4的通项公式；(、UOg,凡,为奇数.、(2)若数列出满足d=:伸勤，求数列出的前2项和匕.19【答案】(1)4=2"T；(2)&=如2叫2_；【解析】(I)依题意，5"=2%-l,当=1时，4=24-1,4=1,当2时，SI=2%-1,所以4=Sl-SZ=2an-,-1,4=2a_,(12),所以数列q是首项为1,公比为2的等比数列，所以q=2",q也符合.所以a”=伍-为奇数(2)由(I)得心为偶数，所以Q=(0+2+4+2n-2)+(2+23+22wl)-0+2zf2x2(14,)21-42/”，21_.n+122=-×4+n-n=-×2+n-n.3333【变式2-4】(2023山东潍坊统考模拟预测)已知数列凡的前项和为S“，且满足S,r=等4,4=l.(1)求数列«,的通项公式；2%为偶数(2)设数列2满足,=。“+2I?2,为奇数,求数列出的前2项和匕.可4+2,“4,l-44n【答案】32n+【解析】(I)因为邑=等4,"2时fSWT=支一* "T相乘得F=，所以q="52)，a当=1时符合上式，所以q=；2",为偶数(2)½l=1w+2nC+2,“为奇数,nn+222当为奇数时23篦