热点5-2等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx
热点52等比数列的通项及前n项和主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。题型1等比数列的基本量计算dZY题型4等比数列前n项和性质应用题型2等比数列性质的应用o等比数列的通j±±->题型5等比数列的判定与证明项及刖n项和题型3等比数列单调性及应用CI/题型6等比数列的实际应用【题型1等比数列的基本量计算】满分技巧等比数列的运算技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量m,q,S其中首项和公比夕为基本量，且"知三求二"，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如/,3都可以看作一个整体。1一夕【例1】(2024.全国模拟预测)已知正项等比数歹1仆的前项和为SrJ.若4。：一34%=0,S4=15,贝U*023=()A.22023-lB.22022-lC.22023D.22022【答案】A【解析】设正项等比数列4的公比为q(q>Q). .-4La6=0,工(-他)(4+0)=0. ,4>0,%-%=0,故F=d=4,解得夕=2（舍负值）,a44（1-力-q1-2=15_/23 4=，S2023=÷7=22g-l.故选：A.12【变式1以2024.全国模拟预测H知正项等比数歹uqr的前项和为s”若一44：一3。必+24-8q=0邑=15,则Sz023=()D . 22022A.22023-lB.22022-lC.22023【答案】A【解析】由题意，设正项等比数列4的公比为4（9。）,Vc-4J-346+2a6-84=0,（t-4¾）（t+4+2）=0.4>0,¾+¾+20,.4-44=0,.f=d=4,解得q=2(负值舍去),a44 (I-V)1一4q()1-2= 15"=151_720234=1,=-=22023-l.i½：A.12【变式1-2】（2023辽宁高三统考期中）已知4为等比数列，其公比9=2,前7项的和为1016,则log23%）的值为（）A.8B.10C.12D.16【答案】C【解析】依题意，S7=%21=1016,127«=1016,解得4=8,因此4=22，71-2所以隰34）=隰（2'27）=1吗2|2=12.故选：C【变式-3(2023四川雅安统考一模)在等比数列%中，若506111111a3+a4+as+a22l+2022÷2023=2024,则:十7+丁+；-+-等于()。3a4a52O21a2O22fl2023A.1B,2C.3D.4【答案】D【解析】等比数列%,若4=1,则”=廓或凡=-506,验证不成立；故”1ta4a2022=aq"'=506,a3+a4+a5 +“2021+a2O22+a2O23=4夕-；=2024,Ira 21-2021 两式相除得到4' "，/"Zl 2 2024 一今%q【变式l-4(2023全国模拟预测)已知正项等比数列q的前项和为S-若6=1,9SLIoS2=O,则SL()a134012180A.B.一C.-D.9278127【答案】C【解析】设等比数列4的公比为4,当4=1时，9S4-1052=36a1-20al=6ax0l不符合题意，(注意对4=1情况的讨论)，所以9工1,由9510由=。得9x(匕叫=K)Xq)一夕,得q=！l-q-q3(注意等比数列/为正项数列，故乡。)，因此&=吐上省.辘C5-q118113【题型2等比数列性质的应用】iW的一1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2、应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质,特别是性质“若A+/=加+伏,相,"N«),则有akal=a,nJ,可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【例2】(2023湖南永州高三校考阶段练习)在等比数列%中，若G=IO,则Igq+%=()A.1B.2C.10D.100【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，%=W=100,所以Igq+lg%=lg(q%)=lgl00=2.故选：B【变式21I2O23全国模拟预测月知正项等比数列4的前项积为此目M2024=3M刈9若2=陶%,则"1023+b302l=()1231A-ib?c?0-3【答案】B【解析】:“2024=32019/*2O192O2O212O222324=20191*a2020a2021a2022a202324=3，25z1Xa2(n0a2024=a2(na2Q23=¢,2O22,“2022=3,得。加，=?'l12:023+2!=l°g3423+bg31=1083(4。23%02J=1g32=lg.335=故选：B.【变式2-2(2023陕西校联考模拟预测)等比数列叫满足：4>0,9>0吗6饮必=32,则/+6的最小值为.【答案】4【解析】依题意，等比数列4满足：ax>0,g>0,aiaia5a1a9=32,所以C=32,4=2,且勺>0,所以a2+&N2az=2&=4,当且仅当%=%=2时等号成立，此时q=2.所以生+6的最小值为4【变式23】(2023.江苏淮安高三校联考期中)已知数列6是正项等比数列，数列也满足a=log2%若=2。，贝岫+a+仄+4=()A.24B.27C.36D.40【答案】B【解析】数列4是正项等比数列，华8=d,由a2a5a8=2，得6=2。，得6=8,bl+b2+=log21+log2t2+log2a3+log2<9=Iog2(ca2ai«9)=1。82(的9)34)3%)(。4%)/=1。82(的9)34)3%)34)%=Iog2)()()a5=log2=91og25=91og28=9×3=27：B.【变式2-4】(2023.安徽六安.高三六安一中校考阶段练习)已知函数/O)=岛，数列4为等比数列，%。，112=1,/(lnizl)+(lna2)+(ln03)+÷(ln2023)=.【解析】因为加岛，所以“*)+)=W+SrL又因为数列4为等比数列，q>。，2=1所以42023=。242022=2=1,所以Inq+In限=In%+In2=21n1012=0设S2023=/(Inq)+/(ln%)+f(ln%)+/(Ino2023)则S2o23=(ln23)+(ln0222)+(ln022j+(ln4/2023由+得：2S2023=2023所以S223=华【题型3等比数列单调性及应用】满分技巧等比数列前项和的函数特征1、S”与q的关系(1)当公比"1时，等比数列的前项和公式是5=L，-q它可以变形为S“=3-丹/,设A=3,则上式可以写成SzI=A-A/的形式，I-<71-q-q由此可见，数列Sn的图象是函数y=A-Aq'图象上的一群孤立的点;(2)当公比9=1时，等比数列的前项和公式是S.二叼，则数列的图象是函数y=qr图象上的一群孤立的点。2、S“与明的关系当公比夕工1时，等比数列的前项和公式是SzI=牛，它可以变形为S=-3-an-q-q-q设A=-二，8=3,则上式可写成Slt=A,r+B的形式，则S”是册的一次函数。-q-q【例3】(2023福建厦门高三厦门第二中学校考阶段练习)已知等比数列2的前项和为S”，前项积为，则下列选项判断正确的是()A.三S2022>S2021,则数列4是递增数列B.若加2>加一则数列qJ是递增数列C.若数列母,是递增数列，则限2%)2lD.若数列区是递增数列,则%【答案】D【解析】对于A中，如果数列4=7,公比为-2,满足S2g>S202,但是等比数列qJ不是递增数列，所以A不正确；对于B中，如果数列Jq=I,公比为-g,满足弓2>加一但是等比数列4不是递增数列，所以B不正确；1（一）”对于C中，如果数列4=1,公比为:，可得工=-=2（1-.），2数列，是递增数列，但是2022<42以，所以C不正确；对于D中，数列，是递增数列，可知（>7L,可得勺>1,所以,可得“2022-%O2I正确，所以D正确；故选：D.【变式31】（2023.广东佛山统考一模）等比数列4公比为夕（夕工1）M>0,若q=。化4（"N）,则“是''数列4为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为等比数列6公比为夕,所以<=q=q（aq）（40"）=味4'+"+"T=小夕2'当4=（m=2时，7；=1f7；=1,显然数列4为不是递增数列；当“数列为递增数列”时，有好>n.因为4。，所以如果。<0,例如4=1，4=-1,显然有4=1,n=T,显然数列4为不是递增数列，因此有4>,<7>,r¾（n+l）Tn+l9所以由加乜=于L=q=4">,当/l,q>l时，显然4>1对于NN'恒成立,当ql,0<9<l时，4>1对于NeN*不一定恒成立，例如4=2,夕=；;当Ovq<1a>1时，%q">1对于NWN"不一定®立，例如勾=；,q=g；当O<%<l,O<q<l时，4W>1又寸于NCN"恒不成立，因1F>1''是数列优为递增数列”的必要不充分条件，故选：B【变式3-2】（2023湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列q的公比为4,其前项和为S”，前项积为丁且q>l,a6a7>l，三<。，则下列结论正确的是（）a7lA . 0<”1【答案】ABDB . O<a7a < 1C. S”的最大值为S,(I【解析】A项，且%>l>0ng>0,而七<°=4-1和%1异号.%T由于6>1知外T>0,a-<,即4>1,%<,°<夕=,<1,故A项正确；«6B项，从前面的求解过程知q>1,o<4<,说明勺是单调递减的正项等比数列，且。</Vl,所以O</<l,那么0v%/Vl,故B项正确；C项，q是正项
