第22讲三角函数的图象与性质（讲）（教师版）.docx
第22讲三角函数的图象与性质（讲）思维导图题型1:三角函数的定义域题型2:三角函数的值域（最值）题型3:三角函数的单调性考向1：求三角函数的单调区间考向2:已知三角函数的单调性求参数三角函数的图象与性质考向1：三角函数的周期性题型4:三角函数的周期性、奇偶性、对称性力考向2：三角函数的奇偶性考向3:三角函数的对称性忽视定义域的限制致误常见误区;忽视y=sin3X（或y=Cos3X）中，3对函数单调性的影响致误忽视正、余弦国数的有界性致误知识梳理1 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）“五点法”作图原理：在正弦函数y=sinx,W0,2的图象上，五个关键点是：（0,0）,，1），（兀，0），（竽，-1），Q,0）.在余弦函数y=cosx,W0,2的图象上，五个关键点是：（0,1）,g0）,（,-1）,侍0）,（2,1）.（2）五点法作图的三步骤：列表、描点、连线（注意光滑）.2 .正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数j=sinXJ=COSXy=tanx图象yC2.r7p<*yMkcMXrtfir定义域RRxxR,且E+5,kz值域-1,11,1R奇偶奇函数偶函数奇函数性单调性在g+2kt,5+2T(*Z)上是递增函数,在+2Ar,号+2攵兀(AZ)上是递减函数在2E-,2E(2Z)上是递增函数，在2k,2k+(kZ)上是递减函数在(一3+E,T+E)(k£Z)上是递增函数周期性周期是2E(kZ且际0),最小正周期是2周期是2E(ZZ且后0),最小正周期是2周期是E伙EZ且厚0),最小正周期是对称性对称轴是X=E+E(%6Z),对称中心是(A,0)(£Z)对称轴是X=EZ),对称中心是R+5,)(AZ)对称中心是修)(kZ)题型归纳题型1三角函数的定义域【例1-1(2019秋南京期末)函数/(x)=tan(2x+马的定义域为()4A.xxk+>女ZB.xx2k-,keZC.xx-+-,ke.ZD.xxk+-kZ288【分析】直接由2x+匹的终边不在y轴上求解X的取值集合得答案.4【解答】解：由2x+代W2汗+巳，得2xkr+%,424k._.*.XF-,kwZ.28二.函数y=tan(2x+?)的定义域为xx4?keZ).故选：C.【例1-2】（2019秋青山区期末）函数y = &coTRT的定义域是.【分析】直接利用无理式的范围，推出CoSX的不等式，解三角不等式即可.【解答】解：由2cosx + L.0得COSX 2a 2k-ic 2k + -f keZ .33故答案为：2k-, 2k + -(keZ). 33【跟踪训练1-1】（2019秋平罗县校级期末）函数/（） = Tan（X -匹）的定义域为（43A. <xx kr + -,k eZ4B.xx k + ,k e ZC.3 xx = k-,k E.Z4D.xx k + -,keZ4【分析】根据正切函数的定义域，即可求得函数/*）的定义域.【解答】解：函数/（x）=Tana-2）中,4令X-N-丰N-+k，keZ：42解得x网+k,AeZ：4所以函数/*）的定义域为xx&4+包.Z.4【跟踪训练1-2】（2019春杜集区校级月考）函数），=JSinltanX的定义域为【分析】由SinXtanx.0,得产工,或FnX求解后取并集得答案.tanx.0Itan,0sinx.0,、一、sinxn0,或，tanx.0tan,x;,0由得，=2k兀,ZZ;由得，+2k<x<-(tx=+2k,ke.Z.22.,.函数y=Jsin>tanx的定义域为1|一1+2女万工<'+2%乃或“=攵乃，keZ.JTJT故答案为：x-+2k<x<-+2kr(tx=k7r»keZ.【名师指导】I.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(x+p)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.题型2三角函数的值域(最值)【例2-1(2019秋如皋市月考)函数y=lan2x在区间-工，)上的值域为.68【分析】根据X的取值范围，结合正切函数的单调性求出y=tan2x的值域.【解答】解：当-军W)时,2x-,-),且y=tan2x在-专，；)上单调递增；又tan(一匹)=一6，tan=1»34所以-8,tan2x<1,所以y=tan2x的值域为.故答案为：-如，1).【例22】(2020春浦东新区校级期中)函数)，=8虱1-3),%0,2m的值域是.【分析】根据2,求得土一工的范围，可得CoSd-马的范围，从而求得函数的值域.2323【解答】解：隐k2乃，-¾-?T一-,bos()1>223故函数的值域为：-！，1,2故答案为：-±,12【跟踪训练2-1】（2019西湖区校级模拟）函数y=cosx,x-工,工的值域是（）6231A.0,1B.-1,1C.0,-D.1【分析】由余弦函数的单调性，函数在_看,0,上是增，在0,1上减，由此性质即可求出函数的值域.【可言】解：由余弦函数的单调性，函数在-工，上是增，在0,刍上减，故其最大值在X=O处取到为621最小值在X=I处取到为0,故其值域是0,I：故选：A.【跟踪训练2-2】（2019秋舒城县期末）函数），=Ian（M为，x（0,马的值域是.246【分析】根据X（0，£，求解9+2的范围，结合正切函数的性质可得值域；624【解答】解：由x（0,结合正切函数的性质可得：l<y,J故答案为：（1，3【名师指导】求三角函数的值域（最值）的3种类型及解法思路（1）形如y=4sinx+力COSX+c的三角函数化为y=Asin（s+e）+k的形式，再求值域（最值）；（2）形如y=siM+加inx+c的三角函数，可先设SinX=7,化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y=osinXCOSx÷Z>（sin÷cosx）+c的三角函数，可先设Z=sinJd:COSxf化为关于，的二次函数求值域（最值）；（4）对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值.题型3三角函数的单调性【例3-1】（2020北京模拟）函数/（x）=sin（2x+马的单调递增区间是（）6A.k+-.k+-l(k三Z)B.k,k+-l(k三Z)632C.k-,k+-l(k三Z)D.k-,k,(k三Z)362【分析】由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果.【解答】解：对于函数/(K)=Sin(2x+至)，令2)U-I融x+22k吟,求得就一梦*k+t故函数的单调增区间为伙乃一号，版+/keZ,故选：C.【例32】(2020咸阳一模)函数y=cos(乃x-X)的单调递增区间是()41 337A.2k,2&+一伏Z)B.24+,244(AZ)44443115C.2&,22+(攵Z)D.2,k÷-,2k+(AwZ)4444【分析】根据余弦函数的单调递增区间，解不等式2b-展标x-22乃即可得出原函数的单调递增区间.4【解答】解：解2女乃一成加R-22k不得,2-2Z+L444函数y=cos(;FX-C)的单调递增区间是2Z-3,2Z+口供cZ).444故选：C.【例3-3】(2020春黄浦区期末)函数y=tan(K+K)的单调递增区间为【分析】根据正切函数的单调性，解不等式-工+攵乃<工+v工+公r,kZ,将所得的解集化为等价的2632开区间，即为所求函数的单调增区间.【解答】解：令Cx+工(一生+Z乃，+k),&Z,6322BJ-+k<-x+-<-+k攵Z,2632可解得：6k-5<x<6k+,攵Z,.函数y=ian(X+-)的单调递增区间是(645,62+1),keZ.故答案为：(6k-5,62+l),kZ【例3-4】(2020春崇明区期末)已知函数/(x)=sin(2x+f在区间0,a(其中。>0)上单调递增，则实数的取值范围是()_rA.(a|0<«)B.aO<a-TTTTC.aa=k+-ZN*D.a12k<a,y2k+>kwN*【分析】求出原函数的单调增区间，可得/()的一个增区间为若，自，再由函数f(x)在区间0,a(Jl中>0)上单调递增，可得的取值范围.【解答】解：由-匹+2左成能r+2-+2k,232f÷ki-+kkZ.1212取4=0,得一区烈,1212则函数数g)=sin(2x+g的个增区间为喑，乡.函数/(x)=sin(2x+至在区间0,a(其中>0)上单调递增,八万0”,12故选：A.【跟踪训练3-1】(2020春南昌月考)函数f(x)=3sin(，-2x)的一个单调递减区间是().ll3A.一,【分析】解-2+ 2%通铝-2x -1212+24即可得出/W的单调递减区间，然后即可判断每个选项的区间是否为/(x)的一个单调递减区间.【解答】解：解一工+ 2攵超网2X至+ 2攵乃得，-kic -Z),2321212Z=O时，2领k :女=1 时，一”领JC；4二1 时， -k >121212121212哈爷是F(X)的一个单调递减区间.故选：B.【跟踪训练3-2】(2019秋丽水期末)函数y=3cosg-2x)的单调递减区间是()r>TCt2兀、1A.k"H,krT,AwZ63B.k-,k-ik三Z36JTTTC.k-9k+-lkz【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式，TTD.k一一9k+-lkZ36再由条件利用余弦函数的单调性求得y的减区间.【解答】解：因为y=3cos（3-2x）=3cos（2x-,令2krtx-2k÷，3求得匕r+&领
