条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）解析版.docx

专题04条件概率与全概率公式（4个知识点2个拓展1个突破7种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点L条件概率知识点2.乘法公式知识点3.全概率公式知识点4.贝页斯公式拓展1条件概率的求解拓展2.全概率公式的应用突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算题型2.事件的独立性与条件概率的关系题型3.乘法公式的应用题型4条件概率的综合应用题型5.全概率公式的应用题型6.贝叶斯公式的应用题型7.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【方法三】差异对比法易错点：混淆“条件概率”与“交事件的概率”【方法四】成果评定法【知识导图】o【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点L条件概率一、条件概率的概念PD一般地，设力，8为两个随机事件，且Pa)>0,我们称一例用=p为在事件4发生的条件下,事件发生的条件概率.二、条件概率的性质设Pa)>o,则P(04)=L如果4和。是两个互斥事件，则P(BUCA)=P(BA)+P(CA).(3)设下和8互为对立事件，则尸(FIA)=l-PBA.例L单选题(2024全国模拟预测)我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖错头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件力为“两位游客中至少有一人选择太湖毒头渚”，事件3为“两位游客选择的景点相同”，则P(8A)等于(D.【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求得尸(用力的值.136【详解】由题意，知P（八）="等=&P(AB)=工6×6366×6所以p(则=需$故选：A.知识点2.乘法公式对任意两个事件力与其若(力)>0,则P(A协=产(0P(B力)为概率的乘法公式.例2.填空题(2024上山东滨州高三统考期末)甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用A、4和4表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用表示由乙箱取出的球是红球的事件，则尸(A?忸)=【答案展43a【分析】由题设求出P（八）=,尸(4)=凝尸琉，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可.【详解】由题意得P（八）=历,P(4)=j,p<A)=.若A发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则P(BlA)=4，先Az发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P(BIA)=A,先4发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则P(例A)=5315/.P(A)=P(BIA)P（八）=-X-=-,P=P(BlA)P（八）+P(44)P(4)+P(0A)P（八）=24；渭5=急P(W)=陪吟/故答案为：1O知识点3.全概率公式一般地，设4,42,4是一组两两互斥的事件，UUUA=P,且P（4）0,/=1,2,，则对任意的事件医。，有尸（而=XP（4）的（切4）,我们称该公式为全概率公式./=I例3.多选题（2024上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）4A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为彳13B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为771424C.甲获得奖品的概率为看49D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.【详解】设绘，Aw,分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件,设匹表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为:24H绦A黄）=午寿=g=g,故A正确;7在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为:p（厩两）=2 3 2 1-×1× -4,故B错误:32234由题意可知，P()=-,P(Aw)=-,p(A,)=-()=-(Att)=-,p()=,由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为:p=p(4)p(%4)+p(4)p(%I%)+p(%)p(%I)33242124M八十.-×-÷-×-+-×-=-*故C正确;77777249因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同,则 P(%) =P(%)P(%4j=3349=3P()77248P(AJP(%|A黄)24491X-X=-P(Brr)77243P(AJ %) =P(4)P(练IAJ249_7P(Btt)722424所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故D正确.故选：ACD.知识点4.贝叶斯公式设4,A2f4是一组两两互斥的事件，4U4UCM”=。，且(4)>0,/=1,2,，n,则对任意的事件届0,m>0,有户(41：=AJB"Ai=/(4"(Bld),，=1,2,，n.P（八）P(B)/=1例4.(2023全国高二随堂练习)现在一些大的建筑工程都实行招投标制.在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质(含施工质量、信誉等)进行调查和评定是非常重要的.设炉”被调查的施工企业资质不好”，4="被调查的施工企业资质评定为不好”.由过去的资料知P(45)=O.97,P(Z忸)=0.95.现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率(精确到0.01).【答案】0.55【分析】由贝叶斯公式计算即可.【详解】由题意可得P(B)=0.06,P(AIB)=O.97,p(a5)=0.95,所以P(AIb)=1-P(忸)=1-095=005,P(豆)=1-P(B)=I-Oo6=0.94,P(BiA) =P(AB) _ P(B) P(AB)p(b)p(ab)P(A) P(AB)+P() P(B)P(A) + P()P(A)0.06×0.97 八“ 0.55.0.06x0.97 + 0.94x0.05即评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率约为0. 55.拓展1.条件概率的求解1. (2024 广东肇庆统考模拟预测)小明去书店买了 5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是,【答案】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件力为“取出的2本中有1本是数学”，事件8为“另1本是物理或化学”，/八 C'C'+C 7则 P(A) =2 =MP(A8)=10所以P(MA)=爷舁6 一 7-6-107-10故答案为:y.拓展2.全概率公式的应用2.(2024上福建泉州高三统考期末)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P”第1次摸到红球的概率为巴；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为A；在第1,2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为心求匕舄,6,巴；对于事件ASC,当尸(AB)>0时，写出尸（八）,尸(用A),P(CAB),P(ABC)的等量关系式,并加以证明.7【答案】记详见解析详见解析【分析】(1)根据全概率公式求解即可；(2)根据相互独立界件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解;(3)根据(2)猜想尸(ABC)=P（八）P(同A)尸(ClAB),由条件概率公式证明即可.【详解】(1)记事件“第i次摸到红球”为4(i=L2,3,10),则第2次摸到红球的事件为A2,于是由全概率公式，得p(4)=p（八）p(4IA)+p(&p(A闾=看尹有$.(2)由已知得A=P(A44)=蓑=£，2=p（八）=,A = p(4A) =P(AyA2)=IO7JO尸（八）A：。71577>=P(31A2) =P(A44)=7J5=5P(A4)247-8,(3)由可得4=2学1,即P(A4A)=P（八）P(4A)P(AA4),可猜想:P(ABC)=P（八）P(BIA)P(ClA5),证明如下：由条件概率及尸（八）>0,P(A8)>0,得尸A)=需，PCM)=霜,所以P（八）P(BA)P(CB)=P（八）.T吸=P(ABC).产（八）/IAal突破：全概率公式与贝叶斯公式的应用1.多选题(2024上辽宁抚顺高二校联考期末)在某班中，男生占40%,女生占60%,在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%,在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%,从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是()A.抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为最B.抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为Wc.若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为AQD.若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为合【答案】AB【分析】A选项，设出事件，利用乘法公式求出A正确；B选项，由全概率公式得到B正确；C选项，结合B选项，利用贝叶斯公式得到C错误：D选项，利用对立事件求概率公式求出答案.【详解】A选项，用A，4分别表示抽到的学生是男生、女生，用B表示抽到的学生喜欢体育锻炼.由题意得玳4)=40%，尸(&)=60%,。34)=80%(创4)=60%,Q则P(AB)=P（八）P(BlA)=32%=不，O故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为最，A正确；B选项，由全概率公式得P(8)=P（八）P(3|A)+P(4)P(Ma)=68%W，B正确.C选项，由B选项可得P(A=I鬻出哈，C错误；D选项，由C选项可得P(&=I-P(A=看，D错误.故选：AB【方法二】实例探索法题型1.条件概率的概念与计算1.(2024上天津和平高三统考期末)将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球.(i)若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是;(ii)若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是.131【答案】石°52