专题1.6含30度角的直角三角形五大题型（北师大版）（解析版）.docx
专题1.6含30度角的直角三角形五大题型【北师大版】考卷信息：本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！【题型1求长度】1. （2023春福建宁德九年级校考期中）如图，已知ABC中，Z-ACB=60o,BC<AB<AC.（1）在边4C上求作一点P,使得/P8C=30。；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若48=3,乙4二45。，求4C的长度.【答案】（1）见解析（2）AC=6+23.【分析】（1）过点8作BPl4C于尸即可.（2）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理求得BP、AP的长，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.【详解】（1）解：如图，PBC即为所求；(2)解：如图，由(1)APB=BPC=90°,Zi4=45o,J.ABP=45°,：.BP=AP,在RtABP中,AP=BP=y2AB=32×2=6,RtfiPC,PBC=30o,2PC=BCfBC2=PB2+PC2,三P（2PC）2=62+PC2,解得PC=23,/MC=1P+PC=6÷23.【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.2. （2023春安徽亳州九年级校考期中）如图是某儿童娱乐休闲广场上的一个滑梯的平面示意图，若将滑梯的滑道B。水平放置，则刚好与DE的长度相同.已知滑梯的高度AB为4米，AE的长为1米.其中E,4。三点在同一直线上，CE工DE,BALDE.（1）求滑梯的滑道8。的长；（2）若把滑梯的滑道8。改成BF,使48凡4=60。，求。尸的长.（精确至J0.1米，参考数据：31.732）【答案】（14米(2)5.2米【分析】（1）设滑道BD的长为%米，则DE=%米，即AD=。E-AE=G:-1）米，在RtZkABD中，由勾股定理得4/+4。2=802,即有42+（%一1）2=解方程即可求解；（2）先求出乙48尸=30。，可得B尸=2AF.设AF=Q米，则8尸=2米，即有AB=VBF2一力尸2=（2）2-2=3,即可得Q=殍，即AF=竿，问题随之得解.【详解】（1）由题意，得48。是直角三角形，BAD=90o,BD=DE,AB=4米，设滑道BO的长为X米，则DE=%米，9：AE=1米，AD=DE-AE=(X-I)米，在RtZkABO中，由勾股定理得AB2+AO2=8。2,即42+0-1)2=解得X=答：滑梯的滑道BO的长为葭米.(2) 乙BFA=60°,ABF=90°-BFA=90°-60°=30°,BF=2AF.设AF=Q米，则BF=2米，.AB=>BF2-AF2=（2）2-a2=3（米）.tAB=4米，.V5a=4,解得Q=竽，即A尸=竽（米）.由（1）可知，A。=DE-AE=BD-AE=工-I=竺（米），22DF=AD-AF5.2（米）.23答：DF的长约为5.2米.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，还考查了含30。角的直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解得本题的关键.3.（2023春广东佛山九年级统考期末）如图，AABC是等边三角形，AB=5,点尸是乙BAC的平分线上一动点，将线段AZ7绕点A顺时针方向旋转60。得到AE,连接CF、EF.(I)尺规作图：在4尸的上方找点Q,使得DE_L4F且DE=4C；(2)在(1)的条件下，连接C。、DF.求证：AE+CD>AC；求证：ACDF是等边三角形；当AOEF是等腰三角形时，求AF的长度？【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析；证明见解析；5或1【分析】(1)由旋转的性质可得4E=力凡FAE=60°,则AAE尸是等边三角形，由DElAF可知，。在力F的垂直平分线上，如图1,分别以4、尸为圆心，大于户的长为半径画弧，交点为M,连接EM并延长，以E为圆心，AC长为半径画弧，与EM的交点即为。，则点。即为所求；(2)如图2,连接C。、DF.ADf记DE与4C的交点为N,DF与AC的交点为“，证明C4尸三DEF(SAS),则C/=。F,乙ACF=乙EDF,由题意知上。NH=KANE=I80。一4NAE一乙4EN=60。，ACF÷LCHF+DFC=180o=Z-EDF+DHM+Z-DNHt则tDFC=匕DNH=60。,CDF是等边三角形，CD=CF,由AF+CF>ACf可得AE+CD>AC；由可证CD尸是等边三角形；由题意知，DEF=30o,AFE=60°,当ZiDE尸是等腰三角形时，分DE=DF,DE=EF,DF=EF,三种情况求解：情况一、当DE=DF时，由乙DFE=DFA+AFE>60o>30o=ZDEF,可知此情况不成立；情况二、当DE=EF时，A尸=EF=DE=AC=AB=3;情况三、当DF=E尸时，乙FDE=乙DEF=30°,如图3,记AF与DE交点为P,则4F=2PF,PF=F,EP=TDE=TAC=?由勾股定理得EP=屈委=7/=5PP,则5PF=今解得PFw进而可求4尸的值.【详解】(1)解：如图1,点。即为所求；B(2)证明：如图2,连接CO、DF、40,记OE与AC的交点为N,DF与AC的交点为H,由(1)可知，CAF=30°,AEN=DEF=AEF=30°,"CAF=乙DEF,'：AC=DE,乙CAF=乙DEF,AF=EFf.CAF三DEF(SAS),：CF=DF,乙ACF=乙EDF,由题意知4DN”=乙ANE=180°-乙NAE-UEN=60°,ACF+乙CHF+乙DFC=180°=乙EDF÷乙DHM+LDNH,1.DFC=乙DNH=60°,ACDF是等边三角形，：.CD=CF,'：AF+CF>ACf：.AE+CD>AC；由可证是等边三角形；解：由题意知，DEF=30o,Z.AFE=60°,当4OE尸是等腰三角形时，分。E=DF,DE=EF,DF=EF,三种情况求解：情况一、当DE=D尸时，乙DFE=乙DEF,:乙DFE=乙DFA+AFE>60°>30°=CDEF,此情况不成立；情况二、当DE=EF时，AF=EF=DE=AC=AB=瓜F=3:情况三、当DF=EF时，FDE=Z-DEF=30°,如图3,记AF与DE交点为P,图3贝J4F=2PF,PF=-EFfEP=-DE=-AC2222由勾股定理得EP=EF2-PF2=3PF,3PF=y,解得PF=5.AF=1：综上所述，当AOEF是等腰三角形时，力F的值为5或1.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，含30。的直角三角形，等腰三角形的性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.4.(2023春陕西咸阳九年级咸阳彩虹学校校考期中)综合与实践问题情境：在数学课上，老师给出了如下情境：如图1,ZkABC是等边三角形，点尸是4C边的中点，点。在直线BF上运动，连接AD,以A。为边向右侧作等边三角形ADE,连接CE,直线CE与直线BF交于点试探究线段8。与CE的数量关系及ZBMC的大小.(1)初步探究:如图1,当点。在线段BF上时，请直接写出：BD与CE的数量关系NBMC=_°深入探究：如图2,当点。在线段BF的延长线上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立,请说明理由；拓展延伸：如图3,当点。在线段FB的延长线上时，若FM=2,BD=；,求出EM的长度.【答案】(IXX)BO=CE,60(2)成立，证明见解析(34【分析】(1)由题意易得AABD三AACE,然后根据全等三角形的性质可进行求解；(2)由题意易证ZiBAD三aG4E,则有Bo=CE,乙48D=乙4CE,然后问题可求解：(3)由题意易证84。三ASE,则有BO=CE=IABD=ACEf然后可得ABF=ABC=30%BFLAC,进而问题可求解.【详解】(1)解：YzMBC和/WE是等边三角形，：.AB=ACfAD=AE,BAC=Z-DAE=60°,BAD=乙BAC-DAC,乙CAE=乙DAE-ZJ)AC,.BAD=KCAE,：.AABD三4CF(SAS),；.BD=CE；故答案为：BD=CExY点尸是AC边的中点，AABC是等边三角形,.ABD="BF=30。，乙ACB=60°,由可知4ABD=ACE,.,.ABD=ACE=3Qot：.LBCM=90°,工乙BMC=90o-乙CBF=60°；故答案为60；(2)解：(1)中的结论还成立，理由如下：A48C是等边三角形，：.AB=AC,BAC=60°,:ADE是等边三角形，：.AD=AE,DAE=60°,.9.BAC=DAE,.*.BAD=乙BAC+乙DAC,乙CAE=乙DAE+ZD4C,即,BAD=CAE,在ABAD和ZkSE中AB=AC/.BAD=CAE,AD=AE"BAD=CtIF(SAS),：.BD=CE,Z.ABD=LACE,.,ABD+乙DBC+乙ACB=120°,.9.ACE+Z-DBC+乙ACB=120°,."BMC=60°；(3)解：A48C是等边三角形，：.AB=ACtBAC=60°,.ADE是等边三角形，.ADAE,DAE=60°,.BAC=DAE,.BAD=DAE-BAE,CAE=Z.BAC-LBhE,即4D=zG4E,在ABZlO和ZkSE中，(AB=ACBAD=CAE,(AD=AE：.BAD三ASE(SAS),：.BD=CE="乙ABD=CACE,24BC是等边三角形，尸是AC的中点.*.ABF=ABC=30%BFLACt."CFM=90。，ACM=ABF=30°,CM=2FM=4,.EM=CE+CM=：+4=.22【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键.5. （2023秋福建福州九年级统考期末）在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE,连接A。、BE交于点F.（1）如图1,求证：AD=BE；过点E作EG_L4。于点G.如图2,若BF=I1,FG=6,求AD的长度；如图3,连接BG、CG,若BG=EG,求证：CGIAB.【答案】（1）见解析（2）23,见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合已知证明AABD三ABCE即可.（2）利用ABD三BCE,得证NGFE=60°,结合已知得到/GEF=30°,得证EF=ZFG,根据BF+EF=BE=AD=BF+2FG计算即可.证明BG=AG,利用线段的垂直平分线性质证明CG1AB.
