专题六十二：数列（基础）理含答案.docx
高考冲刺：数列【高考展望】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2 .数列中4与S之间的互化关系是高考解答题的一个热点.3 .函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4 .解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等.【知识升华】1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2 .运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量2、d（或夕），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3 .分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意夕=1和4两种情况等等.4 .等价转化是数学究习中常常运用的，数列也不例外.如“与S”的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5 .深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6 .解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7 .数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.8 .本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【典型例题】类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式例1.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以/5）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=；/（）=（答案用n表示）.O（举一反三【变式1】设伍为等差数列，"为等比数歹IJ,且a尸匕=1,2+4也3/2也=03分别求出凡及"的前10项的和Slo及T10.考点二：数列递推关系式的理解与应用例2.数列q中，4=2,a+1=an+cn（C是常数，九=1,2,3,）,且q,a2,6成公比不为1的等比数列.(I)求C的值；(II)求%的通项公式.举一反三【变式1】已知等差数列%的前项和为S”，且S3>Ss>S"a2=24.考点三：数列的通项4与前n项和Sn之间的关系与应用例3.在等比数列4中，q=2,前项和为5.，若数列q,+l也是等比数列,则S,等于()（八）2,+'-2(B)3n(C)2n(D)3,-l举一反三【变式1】设数列。“的前n项和为<=2/,2为等比数列,且q=4,432卬)=.(I)求数列%和4的通项公式；（三）设C.=3,求数列g的前n项和Tnbn考点四：数列中与n有关的等式的理解与应用例4.已知数列a11满足a=l,all+=2an+1(neN+)(I)求数列a“的通项公式；(II)若数列b满足4bL4b2T4bT×4b"-1=(an+l)bn(n7V+),证明：br是等差数列；举一反三【变式1设是公比大于1的等比数列，5“为数列4的前项和.已知$3=7,且01+3,3%4+4构成等差数列.(1)求数列2的通项公式.(2)令4=Ina3+1，=L2,.,求数列J的前项和T考点五：等差、等比数列前n项和的理解与应用例5.已知数列“和也满足：a=,a2=2,a,>0也=(N率)且也是以q为公比的等比数列.(I)证明：an+2=aiq2；(11)若q=%-+24”，证明数列%是等比数列;(111) 求和：111FH1.4aI4%«2,1-1a2,l举一反三【变式1】已知数歹Uq的前n项和S11=一9，第k项满足5<4<8,则k=()A.9B.8C.7D.6【答案】此数列为等差数列，an=Sli-Sn,l=2n-0,由5<2kT0<8得到k=8.考点六：数列与函数的迭代问题例6.已知函数/(幻=(戈-1)2,数列%是公差为d的等差数列，数列也"是公比为q(qR且qWl)的等比数列，若=f(f,3=(J+l),4=f(q-l),=÷l)(1)求数列,、4的通项公式；(2)设数列c,J对任意自然数n都有,4=幺+幺+十%成立，求g+j+C2i的值；hh2bH(3)比较也二!与久的大小。+32+14+2举一反三【变式1已知数列“中，q=g，点(",2%+在直线y=x上，其中n=l,2,3.令以=-4-1,求证也是等比数列;（三）求数列%的通项;(IID设S“、7；分别为数列4、仇的前n项和,是否存在实数4,使得数列±4Zl为等差数列？若存在，试求出4.若不存在,则说明理由.考点七：数列综合应用与创新问题21例7.设/(幻是定义在(0,+8)上的单调可导函数.已知对于任意正数X,都有*(x)+T=-，且Xf()/(1)=«>().(I)求/(4+2),并求。的值；(II)令册=焉nWN*,证明数列,是等差数列；(III)设勺是曲线y=(x)在点(/,A/)处的切线的斜率(),数列(的前项和为S,，求证：-4<S-2.举一反三:【变式1】在加（加2）个不同数的排列匕中，若liv机时>与（即前面某数大于后面某数），则称£.与构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列5+1）（-1）321的逆序数为,如排列21的逆序数4=1,排列321的逆序数=6.则/=一，%=，册的表达式为;【巩固练习】31、若数列EJ的前n项的和SH=Mq-3,那么这个数列的通项公式为（）A.an=2×3n,B.a11=3×2nC.an=3n+3D.an=2×3n2、在等比数列"中，%=-2,则此数列前17项之积为（）A、216B、-2,6C、2,7D、-2173、已知等比数列“中各项为正，3=3,9=192,则该数列的通项公式为（）A、an=2,-iB、zj=32wC、«zf=32m3D、t=32w24、已知4是等比数列，且。>0,44+2。3%+。4。6=25,那么%+6的值等于（）A.5B.10C.15.D.205、等差数列”中，%=q,aq=P（P,qwN,pq）,则Qkg=；6、数列“中，4=5,。向=。+3那么这个数列的通项公式是；I-/7、设z=（;-）"5N+）,记S,=Z2-zJ+z3-Z2+.+Zm-Z",则SL.8、从盛满。升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精升.9、已知：在等比数列,中，Sn=ai+a2+.+anf若SH）=5,S20=15«求S30的值.10、数列6中，前m项（m为奇数）的和为77,其中偶数项之和为33,且勺一4=18,求这个数列的通项公式.11、设等差数列6的前n项和为S.,已知。3=12,S12>0,513<0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出'、S?、$2中哪一个值最大，并说明理由.12、已知数列”为等差数列，公差d0,由6中的部分项组成的数列”,，为“，为等比数列,其中=1,b2=5,b3=11.求数列"J的通项公式；记或=CE+2+c»3+“，求T”.13、已知数列4的前n项和为s,l,%=g（4zl-l）5N*）求知生求证：数列%是等比数列14、张老师购买安居工程集资房92/,单价为100o元/m?,一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款（每期为1年，等额付款，签订购房合同后1年付款1次，再经过1年又付款1次，等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%,每年按复利计算，那么每年付款多少元（L075°n2.061,计算结果精确到元）15、数列/是等比数列，项数为偶数，各项为正，它所有项的和等于偶数项和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项和第4项和的9倍，(1)求伍“的通项公式(2)数列lgq的前几项的和最大？数学试题答案【典型例题】类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式例L【思路点拨】从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1,3,6,10,推测出第n层的球数。【解析】显然f=1+3+6=10.第n堆最低层(第一层)的乒乓球数，/=1+2+,=n(n+l),第堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓2球的低层数之和，即f(n)=q+4+an=d2+22+吗4”,Cn(n+l)(n+2)所以：f(n)=-AL6举一反三【变式1】【解析】设an的公差为d,bj的公比为q,则“C-2l+2d=q48"2.=明+45=今7；。=牛心二笔8-q32考点二：数列递推关系式的理解与应用例2.【思路点拨】(1)由卬，出，生成公比不为1的等比数列列方程求C；(2)可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出勺与nN间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.【解析】(I)q=2,2=2+c,«3=2÷3c,因为q,%生成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c),解得C=O或c=2.当C=O时，a=a2=a3,不符合题意舍去，故C=2.(II)当22时，由于a2-al=cfa3-a2=2c，,，cll-az,-1=(n-l)c,所以q-q=l+2+(n-l)c=c.又4=2,c=2,故4=2+(-1)="一+2(=2,3,).当=1时，上式也成立，所以4“二-+2(=1,2,).【总结升华】从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.举一反三【变式1】【解析】(1)由题意得5 .-56=A7+fi+fl=7fl0>06 6=%+Qg+%=4o+flll)<O% + 8- > O nd 2«, +17" <0(2)由(1)知,a1o>O,a1o+au<O,ao>O>al,又公差小于零，数列匕“递减，所以aj的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。.n=10时，Sn最大。考点三：数列的通项4与前n项和SII之间的关系与应用例3.【思路点拨】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。【解析】因数列q,为等比，则勺=2,因数列4+l也是等比数列，则(见+
