椭圆知识点总结及经典习题练习.docx
第二局部圆锥曲线（一）一椭圆知识点一”、平面内与两个定点石，E的距离之和等于常数（大于I片El）的点的轨迹称为椭圆即:IMKl+1MF21=2,（2>FiF21）o注意：假设（IPE+pf2I=恒国），那么动点P的轨迹为线段耳尸2；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质：标准方程X2V2r+J=l(a>b>O)a2b2V2X2_+_=1(a>Z?>0)图形yiTI9CX性质焦点K(-c',O),"(Go)/7I(O-C),F2(O,c)焦距"凡=2cFR=2c范围X<a,ybXb，ya对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(±,0),(0,±)(0,±),(±¼0)轴长长轴长=2。，短轴长=28离心率e-(O<c<l)a准线方程C2y=±焦半径PFl=a-ex0,PF2=a-ex0PFl=a+ey0tPF2=a-ey0注意：椭圆5+2"3W>°）的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有（4>6>0）和e=f（O<e<l）,a2=b2+c不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不a相同。22知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：1+2=ab其中=2一匕22.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：二+1=l(4>力>0),其中，=/从；注意Sab1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2,在椭圆的两种标准方程中，都有(4>人>0)和C?=/-)?;3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在X轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0),(-C。)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c),(0-c)知识点三：椭圆的简单几何性质X2V2椭圆：-+2=l(>b>0)的简单几何性质a-b-r2V2(1)对称性：对于椭圆标准方程二+2=l(>b>0):说明：0-hy把X换成一X、或把y换成一y、或把R、y同时换成一工、-y>I原方程都不变，所以椭圆/+£=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个AiLF1OcAM2X对称中心称为椭圆的中心。,范围：叫椭圆上所有的点都位于直线X=±4和y=±匕所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足卜a,yIZ?<>(3)顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。X2V2椭圆F+J=l(>6>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为abA(-,0),A2(afi)f1(O,-Z?),生(0,份线段从4,用当分别叫做椭圆的长轴和短轴，I1A2=2,B1B2=2b.和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。二'=£。laa因为3>c>0),所以e的取值范围是(0<e<l)°e越接近1,那么C就越接近4,从而b二"7越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,C就越接近0,当且仅当=时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为方程为/+V=*注意：椭圆片十%_=1的图像中线(Tb=ei (IP陷 1+ PM2 I =)：c从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。几何特征(如下列图)：(户耳+PF2I=20);(BF=BF2I=);(OF1=O2|=c)；=A2B=2+Z?2；(3) A1F1=A2=a-c；F2=A2F1=a+cia-c<PF+c;规律方法：1 .如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量4力,C的几何意义椭圆标准方程中，。,九C三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：(«>?>O),(6Z>C>0),且=Z?2+c2)O可借助右图理解记忆：显然：6,C恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、C为两条直角边。y3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置x511Vx椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：/b'.看/,V的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。一少；4 .方程加2+冷2=。(4氏0均不为零)是表示椭圆的条件方程Ar2+为2=c可化为=+上=,即I+3=,CCCC7BCCCC所以只有A、B、C同号，且AHB时，方程表示椭圆。当一>一时，椭圆的焦点在X轴上；当一<一ABAB时，椭圆的焦点在y轴上。5 .求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数Ac的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。226 .共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，那么C相同。与椭圆工+二=1(。>6>0)ab22共焦点的椭圆方程可设为+<=i(m>-b2)f此类问题常用待定系数法求解。a+mb+tn7 .如何求解与焦点三角形4PFE(P为椭圆上的点)有关的计算问题思路分析:与焦点三角形aPFE有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式Sap",=(|尸用XIP周XSinNKP鸟相结合的方法进行计算解题。将有关线段IP月NP周竹周，有关角NEPF2(/耳尸6(NKBF2)结合起来，建立PF+PF2.IPMlXIP周之间的关系.9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e=£(0<el),c2=a2-b2taa>c>0f用a、b表示为e=Jl-P)?(0<e<1)°显然：当2越小时，e(O<e<l)越大，椭圆形状越扁；当2越大，e(O<e<l)越小，椭圆aa形状越趋近于圆。(二)椭圆练习题一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4百的椭圆方程是()（八）+=1(B)-÷=1(C)-+=1(D)-+=125202025204580852、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60。角的菱形的四个顶点，那么椭圆的离心率为()1 331一百（八）-(B)-(C)-(D)7或三2 2322223、椭圆二+2=1中E、F?为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点B,那么AABFz的面积为63()OC（八）3(B)(C)43(D)42224、方程一=1表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是()25-m16+m999（八）-16<m<25(B)-16<m<-2(C)<m<25(D)m>-25、椭圆+亡=1的离心率-巫，那么m的值为()5m5（八）3(B)3或(。(D)或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，那么椭圆的长轴长是短轴长的()（八）6倍(B)2倍(C)倍(D)7倍27、椭圆ar2+by2+而=0(<0)的焦点坐标为()（八）(0,±ya-b)(B)(±Ja二,0)(C)(0,±yb-a)(D)(±Jb-4,0)8、椭圆f+4y2=l的离心率为()(Ag(B)与(CW(D)29、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是120。,那么这个椭圆的离心率e=()3131（八）-(B)-(C)-(D)-223310、曲线二+二二1与曲线一+“一二l(mv9)一定有()25925-m9-m（八）相等的长轴长(B)相等的焦距(C)相等的离心率(D)相同的准线二、填空题IL(I)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9,离心率为0.6的椭圆的方程为3(2)对称轴是坐标轴,离心率等于一，且过点(2,0)的椭圆的方程是212 .(1)短轴长为6,且过点(1,4)的椭圆标准方程是；顶点(-6,0),(6,0)过点(3,3)的椭圆方程是.X2V213 .椭圆'+J=I的焦距为4,那么这个椭圆的焦点在轴上，坐标是2aa22I14 .椭圆±+匕=1的离率为,，那么m=.m42三、解答题15、求椭圆= a>b> 0)的内接矩形面积的最大值.16 .圆，+V=,从这个圆上任意一点尸向y轴作垂线段。P',求线段P尸'的中点"的轨迹.417 .比的两个顶点坐标分别是4(0,6)和C(0,-6),另两边力反力。的斜率的乘积是-上，9求顶点A的轨迹方程.18 .(本小题总分值15分)椭圆的焦点在X轴上，短轴长为4,离心率为手.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设直线/过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且M2V=-5,求直线/的方程.
