第八周作业答案.docx

第八周作业答案1 .已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统y(h)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域;(b)求此系统的单位抽样响应；(C)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。分析：x(n)<->X(z),h(n)÷÷/Z(z),y(n)cY(z)则H(Z)=Y(z)/X(z)=Z（三）,要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统(不一定稳定)，收敛域若包括单位圆，则为稳定系统(不一定因果)。解：(a)对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：Y(z)=ZTy(Z)+z-2Y(z)+ZTX(z)所以“(z)=也=<-=X(Z)l-zz(z)(z零点为z=0,z=极点为z=q=().5(1+百)=1.62z=a2=O.5(l-5)=-0.62因为是因果系统，所以z>1.62是其收敛区域。零极点图略。(6)因为H(z)=(z-)(z-2)%-z-/z-a2所以h(n)=(111-a2n)u(n)“一2式中6f=1.62,a2=-0.62由于H(Z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。(C)若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选H(Z)的收敛区域为2<z<a1,即0.62<z<1.62,则=ai-a2_z-axz-a1中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。所以H(Z)=-Ych,lz-n-Ya2nz-ttaIa2_=-x>=0_则有h(n)=-(a"u(-n-1)+a2nw(n)。2一4=-0.447×(1.62)”u(-n-1)+(-0.62)rt()从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。2.研究一个输入为x5)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足y(n-O-X)+y(n+1)=x(w)并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出H(z)=Y(z)/X(z)然后和题I(C)一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：ZTy(Z)-Y(z)+zY(z)=X(z)贝U:H(Z)=也X(Z)1=io-Z+Z3_z(z-3)(z-)极点为z1=3,z7=»3为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取l3<z<30利用第一题C）的结果，al=3fa2=l3即可求得3Yh(n)=3,u(-n-1)+u(n)83J19级数字信号处理1、2章答案（2022.04）填空题：每空4分，共20分1 .一个因果数字系统，如果系统的极点位于Z平面的单位圆内（同1）范围，则该系统是稳定的。2 .对一个信号的频率进行采样，将导致该信号时间域呈现周期延拓特征。3 .将序列分成实部和虚部，则实部对应的傅立叶变换具有共辄对称性,虚部和j一起对应的傅立叶变换具有共具反对称性。4.公式£IMM=P-LlX代表的物理意义是时域中求序列的能H=-OOH'量与频域中用频谱密度计算序列的能量是一致的（时域总能量=频域总能量）二、简答题：每题10分，共40分1.求序列15)=£(3加)”5)的频谱X(e初)。答：X(*)=Sleail(心3=o=Sej+M>)"e-"5分=0=5分或利用Z变换X(Z)=5分一-ZTX(ej)=5分-e-a+je-j2.有一调幅信号儿=1+cos(2;TXIoof)cos(2zrx600r),用DFT做频谱分析,要求能分辨信号的所有频率分量，问：(1)抽样频率应为多少赫兹？(2)抽样时间间隔应为多少秒？xa(t)=cos(2r×600/)+cos(2r×100r)cos(2X600r)答：114分=cos(2×6(X)r)+-cos(2乃X500/)+cos(2;TX7001)221 1)fs2ff1=400Hz3分2 2)T=-i-5=0.714三3分14003 .判断y5)=M")sin(笥+擀)是否是线性移不变系统。答：yi()=X1()sin(+，)，y2ri)=x2(n)sin(+y)zj/、/,/2万Tc.z/2兀c、ayl()+by2(n)=axx()sin(+亍)+bx2()sm(-n+)Tax()+bx2(n)=axi()+bx2(n)sin(-w÷y)Tax(/?)+bx2(n)=ayi()+by2(ri)系统是线性系统。Tx(n-ri)=x(n-w)sin(+1)/Zr2乃/、1yn一根)=x(n-w)sinl(-m)+)Tx(n-/?)y(n-tri)系统不是移不变系统。4 .判断序列X（三）=6一W是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期。答：o=0.4;T3分二二5为有理数，是周期序列4分O周期长度为N=53分三、计算题：每题20分，共40分已知xl(n') = u(n),x2(n)=at,u(n)f|<1,试求两个序列的卷积和及卷积和的Z变换。答：X1(z)=r-z>12分I-ZX2(z)=-rIzl>«2分2l-az-lI1x(n)=xl(n)*x2(n)X(Z)=X1(Z)X2(Z)1(l-z-'Xl-az-1)z>14分1-a、AI42x(z)=；=r+;I-Z-azAI=ReSX(z)L=11ClZA2=Re5X(z)=-1_-a1-l-aX(Z)=l-<2l-z-a-azx(n) =-au(n)一a,tu(n)=匕且二()-a-a答案不唯也可以先在时域求出卷积和x5),再求Z变换OOx(n)=x1()*x2(n)=£u(m)ann,u(n-m)M=-OO.m>09u(m)0n-n0,(-M0.,.0几,且0时，x()0x(n)=x1(11)*x2（三）=Za/W=O="w=0-m-(n+l)1+1-CL-a0,n<0n0-an+ll-u(11)-a817rt+1X(Z)=Z-u(n)zn=”11-aIlaI一言(1-l-al-z,(I-ZT)(I-B)a极点Zl=I,Z2=a因为4<1,且为因果序列，所以收敛域忖>12.设某线性移不变离散系统的差分方程为y(-l)-yy(n)+y(n+1)=x(n)求此系统的单位抽样响应并判断系统的因果性、稳定性。答：系统函数H(Z)=X(Z),|io-=FZ-+Z(z-3)(z-)3H(z)=-×(O极点Zl=-,3对应收敛域：Z2=32分2分2分2分2分2分(I)IZI>3时，系统因果不稳定h(n)=-×3n-3nu(n)8(2)g<H<3时，系统非因果稳定h(n)=-×3"u(-n-1)+3"()8(3)忖<g时，系统非因果不稳定(11)=-×3h-3-,w(-i-1)8