概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答.docx
习题411、设随机变量X服从参数为的0-1分布，求E(X)。解：据题意知，X的分布律为X01PkI-PP根据期望的定义，得E(X)=O(l-p)+1p=p°2、袋中有张卡片，记有号码1,2,“。现从中有放回地抽出A张卡片，求号码之和X的数学期望。解：设Xi表示第i次取到的卡片的号码(i=l,2,/)，那么X=X+X2+X%。因为是有放回地抽出卡片，所以Xj之间相互独立。所以第i次抽到号码为m的卡片的概率为PXi=M=L(m=L2,i=1,2,次)，n即Xj的分布律为PX.=l,(w=l,2,M,n所以E(Xj)=L(1+2+«)=,n2所以，E(X)=E(X、+XJ=J与注：求复杂随机变量期望时可先引入假设干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。3、某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于L就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。(设诸产品是否是次品是相互独立的J解：令y表示一次抽检的io件产品的次品数，据题意知，y仇io,o.i),P=PY>=-PY=0-PY=-C0.1o0.9,°-C1,oO.1,O.99=0.2639,因此，X仇4,0.2639),从而石(X)="p=40.2639=1.0556。注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。即值。4、据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p(0<p<l,P为)，在五年内非自杀身亡的概率为1一。保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费。元(。)，假设5年内非自杀死亡，保险公司赔偿元(b>a)o应如何确定人才能使公司可期望获益？假设有机个人参加保险，公司可期望从中收益多少？解：设X表示从一个被保险人身上获得的收益，那么其分布律为Xaa-bPkPI-P要使公司获利，需E(X)>O,即。一伙l-p)>O,所以有对于加个人，有E(mX)=map+n(a-b)(-p)=ma-mb1-p)。注：此题的关键在于假设随机变量，从而确定公司获益的期望。5、对任意随机变量X,假设E(X)存在，那么EaE(X)"等于。解：由于E(X)表示随机变量X的平均值,是一个数。据数学期望的性质，知EE1E(X)=E(X)o6、设随机变量X的分布为求E(X),E(2),E(3X2+5)o解：E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2,E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8,E(32+5)=3E(2)+5=3x2.8+5=13.4。laOVXVl0,其它7、设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=<廿、，其中Z,>O,又E(X)=O.75,求,的值。解：由概率密度函数的性质和条件，得Vf(x)dx = 1-xSEX=O.75,解得女= 3, = 2°XkXadX = 0.758、设随机变量X的概率密度为/a) =l-x,0<x<2其它l-(l-x),0<x<l解：据题意知，随机变量X的概率密度为AX)=J-(%-1),1X<2,0,其它所以，E(X)=Jxf(x)dx=£xl-(1-x)dx+Jxl-(x-l)d=1(>1TX9、一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为/(x)=we0,x0工厂规定出售的设备假设在一年内损坏，可予以调换。假设工厂出售一台设备可廉利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。1_1_2_1解：一台设备在一年内损坏的概率为PX<l=wJ°e丁公=一，1o=l-7jI故PX1=1-PX<1=1-（1-7）=d设y表示出售一台设备的净赢利，那么y = g(X)=<(-300÷100)=-200,X<l100,Xl_I-I-L故E(P)=(-200)PX<1+100PX1=-200+20Oe4+100e4=300e200=33.64。注：此题为随机变量函数的期望的计算。10、设随机变量X的概率密度为/（x）=<:（1）求y=2x的数学期望；（2）Y="?"的数学期望。解：(1)£(K)=z2jtf(x)dx="x2xe-xdx=-2xe-x-2e-x+()0=2；(2)E(Y)=厂e-2xf(x)dx=/Iw=-1e-3x°°=lo设（x,y）的分布律为X123求E(X),E(Y)o-10.20.10(2)设Z=yX,求E(Z)。00.100.310.10.10.1(3)设Z=(Xy)2,求E(Z)。解：（1）由（x,y）的分布律易得边缘分布为XY123PjE(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2oE(Y)=(-l)×0.3+0×0.4+l×0.3=0o(2)E(Z)=(l)×0.2+(-0.5)×0.1÷(-l3)×0+0×0.4+l3×0.-10.20.100.300.100.30.410.10.10.10.3Pi0.40.20.41Z=YlX-1-1/2-1/301/31/211+0.5×0.1+1×0.1Pk0.20.100.40.10.10.1=(1/4)+1/30+1/20+1/10=(-15/60)+11/60=-1/15.Z=(X-Y)20(I-I)21(I-O)2或(2-1)24(2-0)2或(1YT)2或(3/)29(3-0)2或("-I)?16(3-(-1)2Pk0.10.20.30.40夙Z)=OXO.1+1x0.2+4x0.3+9x0.4+16x0=5。12、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=J12r,0''1,求E(X),E(YE(XYE(X2+r2)opother88A解：E(X)=JJxfx,y)dxdy=JOdq()x12y2dy=,-00-00°5E(Y)=jyf(x,y)dxdy=dy12y2dy=，-oooD8811E(XY)=JJxyf(x,y)dxdy=£dJxy12y2dy=,-00-0088.1Z-E(X2+r2)=(x2+y2)(x,y)dxdy=JOv(x2÷y2)l2y2dy=。000013、设X和y相互独立，概率密度分别为勿(X) 2x, 0xl。,其它”式A"g>, y>50,其它求E(XY)o解：由于X和y相互独立,2xy2xeiy 5)dydx = -6 = 4。88OO8所以E(Xy)=Jxyf(x,y)dxdy=xy,x)2(y)dxdy=-OO-<J0-QO-OO习题4一21、设随机变量X服从泊松分布，且X=1=尸X=2,求E(X),O(X)°2J2解：设XP(l),由题意得一e"=""整理得24=>V,解得2=2,2=0(舍去)，1!2!所以E(X)=O(X)=4=2。2、以下命题错误的选项是()（八）假设XP（八）,那么E(X)=D(X)=4；(3)假设X服从参数为2的指数分布，那么E(X)=O(X)=L,(C)假设XBQM,那么E(X)=,D(X)=6(1-)：21I2(O)假设X服从区间口,加上的均匀分布，那么E(2)=幺+1一解：由于假设X服从参数为/1的指数分布，那么E(X)=?,O(X)=二，所以错误的命题是(3)。A3、设乂，乂2，X是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(,)(c>O),那么区=LXXj服从的分布是。ni=解:由于x,Xz,x是相互独立的随机变量，且都服从正态分布，根据正态分布的线性组合仍服从正态分布，故又二L之Xj服从正态分布；根据期望和方差的性质，得E(X)=£(-X,)=-(X,)=-A=A»nZ=Ini=l1=11«1n1n2D(X)=D(-X,-)=4D(Xl)=42=-,F"i=l1=1_1n2综上，可得又=一»演,一)。,=I注：此题与总习题四中的30题类似。5、设随机变量X服从泊松分布，且3PX=l+2PX=2=4PX=0,求X的期望与方差。a12j解：设XP(l),由题意得3-e”+2-e-"=4e-"整理得4?+34-4=0,解得;1=1,1!2!0!=-4(舍去)，所以E(X)=Z)(X)=N=L注：此题与本节第1题类似。6、设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命(单位：小时)X和y的分布律分别为X90010001100Pi0.10.80.1Y95010001050P10.30.40.3试问那家工厂生产的灯泡质量较好？提示：先比拟数学期望，假设相等，再比拟方差。期望越大质量越好；期望相同，那么方差越小，质量越好解：E(X)=9000.1+100.8+ll0.1=l(X)0,E(K)=950-0.3÷I(XX)0.4+10500.3=l(XX),E(2)=9OO20.1+l0002O.8+11OO2O.1=1002000,EOr2)=95020.3+100020.4+lO5O20.3=1001500,D(X)=E(X2)-E(X)f=002000-1OOO2=2000,D(K)=E(y2)-E(V)2=115-100O2=1500,由于E(X)=E(Y),且。(Y)VD(X),所以乙家工厂生产的灯泡质量较好。7、Xb(t,p),且E(X)=3,D(X)=2,试求X的所有可能取值，并计算PX8°Al,E(X)=plnp=3解：由Xb(,)，得>,又由于E(X)=3,0(X)=2,即/,D(X)=叩Q-P)p(1-P)=2解得=9,P=；,所以X的所有可能取值为0,1,2,9,所以PXK8=1-PX=9=l-C；g)9=l-(；)9。8、设XN(1,2),Y服从参数为3的泊松分布，且X与丫独立，求O(X丫)。解：据题意得，E(X)=I,5X)=2,E(Y)=D(Y)=3,由于O(X)=E(X2)_£(x)f,即E(X2)=D(X)+E(X)2f故E(2)=2+F=3,£(K2)=3+32=12,又由于X与y独立，所以=312-1232=27o9、设随机变量Xja=L2,3,4)相互独立，且EXj=i,OXj=5-i;设Y=2X-X?+8X3-OSX,，求E(V)iD(Y)o提示：利用期望和方差的性质宜接计算即可。解：据题意知，E(y)=E(2X1-X2+3X3-0.5X
