江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则6.级数.docx
第六章级数本章主要知识点 级数收敛定义及性质 正项级数敛散判别方法 一般项级数敛散判别方法 哥级数一、级数收敛的定义及性质定义：收敛。Sn=B>"S（有限）（2+8）三lJt=I性质：必要条件Iim为=On%与收敛，那么收敛收敛，Za发散，2（。±2）必发散Z%发散，Za发散，不能确定71收敛P>102/一1发散p<X>q"收敛,当I司=const.<181例6.1.计算Z-念5+3）n1111III解：S2RH(Q)=5(>zi)-5G8)例6.2.计算Zg”(Iql=ConSt,<1)/1=0-C!1解：S>(n)-q-q所以,=1j=o1-q二、正项级数Zq(40)敛散性判别法1 .比值判别法7<,收敛如果Iim4包=/*>1,发散""/=1,比值判别法失效例63.4M=IMran+V5+1)!1-/”-IJ角吊：hm-2jj-=h-=lm()=e<1-°an“-"+I)nw0°+l所以由比值判别法知原级数收敛。例 6. 4. Z n=ln2"+4解：Iim也= Iim"<c 白 moo357.(2m + 1)357.(2"-1)收敛hji.11.+12"+4/1+1111.解：hm-2iL=IIm：=Iim=<1收敛ran"-S2m+4n"-*con222 .比拟判别法比拟判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。囿级数法：如果0,"(对充分大)成立且Za收敛，那么go“收敛；如果明ao,Zd发散，那么w>发散。极限式：如果!5/=/（/。0有限数），工,、>（6也；0）同敛散；%特别地，假设/=O且Za收敛，那么Za”收敛;假设/=8且Za发散，那么an发散。p 1» 发散。nl等价无穷小式：art=，（C>0）,p>l,收敛,n=lsin 2 （乃）QO例6.6.Z11=1解：0sin2 （i） 1< 2+l - c，而2'T收敛，由比拟判别法知£W=ISin2 （乃）W2+1收敛。例 6. 7. Z W=I arctanV 2n ÷ 1 ； 3+2m解：0arctan2 + 112 13+2"<=一 3"2 3”而"1收敛,乙2 3由比拟判别法知原级数收敛。OO例6. 8. Z（收敛（0）,证明Zd也收敛。 W=I证明：因为£勺收敛，故IimqI=0,所以对充分大的n成立: n =lO 1,因此o4,收敛，由比拟判别法知Z4；收敛。 w=IW=I888例6. 9.正项级数Za收敛，证明：Za也收敛。1 ni=l证明：O也 ；(4+),OO¢0由上题的结论可知，£>“，、>“收敛，收敛,W=I=1由比拟判别法知：Sq也收敛。i I例 6. io. y-7= 念 3" + l而£-5=发散，由比拟判别法知力发散。r3 + l一 B 2n-4例 6. IL Y ./1=1 J3“ 6 + 5解：因为2 一 434-6n2 *÷52n _ 232 3?p=l,所以原级数发散。例6.12.S粤”=1nInn,j.n3z21.Inn解：=hr114-=hm<1W30“00例613.Zm7JI=Ie“00解：I= Iimj-+X>1IimJ+<C/02 n0.0 In=Hm 嘉=Hm 噜=。+co e。OLt +!X> (.l),°2eoo,xX二收敛,n故由比拟判别法知,原级数收敛。25例6.14.Z2n÷1sinN=In解：因为J2+1sin-J2+14nnZ3收敛，由比拟判别法知£3+卜而二收敛。5/1=1三、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。定义1：Ean绝对收敛OZkJ收敛。原级数绝对收敛必收敛。定义2：Za条件收敛OWJaj发散，而W>收敛研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，假设绝对发散那么研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数Z（-1）Z“（4,0）°交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数Z（-i约假设（1）«w0,即级数是交错的，（2） .单调下降,（3） Iima"=Occ那么(-)为收敛。w=l81例6.15.y(-l)w.一3?3+2n+解：先考虑级数Z/一3+2n+l因为-/3n3 + 2n + l13hi而z3收敛，所以/I一收敛33n3+2n+即原级数绝对收敛。例2谭"解：对于EMN岛肃因为斯一,所以发散，原级数绝对 2n311发散0而Z(T)：是交错级数，/单调下降,且M=4112-6n+14j2-6n+1Iim-=Oz84-6"+1由莱伯尼判别法知，原级数是条件收敛。例6.17.研究级数S(T)"sin-!r敛散性解：l6fw=snA"(k=Const1.1sm-11Iim产=1，£sin-r与ZF同敛散，1JnJn故当A>l时，原级数绝对收敛；当&1时，原级数绝对发散;当人0时，IimSin-r不存在，所以原级数发散；nson当OVZVl时，y(-l)nsi114-为交错级数，且sin单调下降，Jnn且sinr05+8),故由莱伯尼兹判别法知，原级数条件收敛。nk四、事级数1.收敛半径和收敛区间Sa“"-与)"称为辕级数，对于哥级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。=l收敛半径R：R=Iimnoo收敛区间：AO-R<v/+R;对于X=XO-R和X=玉)+R端点处特别考虑。例6.18.求£(一1)七J£的收敛半径和收敛区间,=2+5解：R=Iim2=lim<(2(+1)2+5)=1,rt0°an+lm三02n+5当X=I时，原级数=£(一1)！一收敛；-2+5当X=1时，原级数二£二一收敛：z2n2+5所以，收敛区间为-1,IJo例6.19.求工一一(2x-l产1的收敛半径和收敛区间。H=O3+181解：令y=(2x-l)2,原级数=(2-l)TZ一一y",3'+1prFTl13m+,+1&Rv=Iim=Iim=3,"w->1n3"+13n+i+1N.-o对于x（匕立,匕立），原级数收敛；当X=上立时，y=3,原级数发散，故222收敛区间为（l-3l+3Z,T/222.函数展开为塞级数几个常用的哥级数形式-OO<x<+00<三0sinx(2n+l)!xeR力（-ln（l+力=父，x<iH=In例6.20./（）=W>D展开为X的哥级数。2）展开为的幕级数。解一)八)-=翡(力图。(-1)击/M<21 +22912 )/(x)=l=1-r、73+x-l3IXTr2例6.21.f(x)=7展开为X的哥级数。v7(2x-l)(x+3)X2(2工-1)-2(x+3)_22fT(2x-l)(x+3)_7(x+3)+7(2x-l)1X22X211V，xm+22(IrIj=FLbW铲)丁一裕2X'<-3例6.22.=XCOS2X展开为X的辕级数解:1+cosIxXXC=X=+cos2x222例6.23./(X)=arctanx,求/(x)的鼎级数展开式anxn解：/'3=占=S(T)T1十八n=0在区间o,T上，两边积分，利用哥级数逐项可积性得")=½叫*1。例6.24.求和函数。n=l+8解：设Sa)=Xr"T,利用幕级数逐项可积性得w=l+00+«0JoS(X)公=WT公=n=zf/1=1M=I1人X1求导得：s(x)=(-y=-!-7oI-X(I-X)X2X4X6例6.25.求IH111-的和函数O357XXX解：令Sa)=I+±+'l+357(x5(x)f=1+x2+x4+=l + xTxI-JrXS(X)=j-dx=-njl-x2211+X所以5（幻二-卜二。2x1-x单元练习题6Llim % =0是级数 /1TOo400E>“收敛() w=0A.必要条件C.充要条件B.充分条件D.无关条件÷0>2 .正项级数Z%收敛的（）是前n项局部和数列s 有界 W=I.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件3 .以下级数中收敛的是（）A.4.以下级数中条件收敛的是（）b *广(11c d. y ； 7a 2n3+45.以下级数中绝对收敛的是（）A.y (-11b (-0h,=l2n-6.7.8.9.6(-1严 c r以下级数发散的是()C. (T)"5=1 D事级数£(1)=1A. -1,1C. -1,1 )rH=I 11S nB. YD.OO的收敛域是()B (-1,1)D. (-1,1 ,当时，级数绝对收敛;当时，级数条件收敛；当时，级数发散。某级数S工的和函数5*) = ,.=0 nOO w=0(一2)n=,Iimn n10.判别以下级数的收敛性.nOO sin 23a',n 八 I、 ,，(4>0,l,e)H=I n(-r, inM=I(4)K 117 + ln n=l D(6)y2Lr°0 t2Y £(!)(8)(y/n+sinn=n-n+£4(10)(-l)-arcsinlW=I-1=I11 .求以下哥级数的收敛半径和收敛域：8Qfl8v,2-1(1)t÷-n(2)ytfH2+l(2h-1)(2h-1)!(3) £(-1)"=l2n-5n+T12 .将/(x)=(l+x)ln(l+x)展开为X的哥级数。13 .将F(X)=-J展开为工一1
