课堂导学（3.2复数的运算）.docx

课堂导学三点剖析一，复数代数形式的加减运算例1计算：(l-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+(1999-2OOOi)-(2000-2OOli).解法一：原式=(l-2+3-4+l999-2000)+(-2+3-4+52000+2001)i=-l000+1OOOi.解法二：(l-2i)-(2-3i)=-l+i,(3-4i)-(4-5i)=-l+i,(1999-2000i)-(2000-2001i)=-l+i.将上述式子累加得原式二1000(-1+1)=-1000+1OOOi.温馨提示复数的加减法,类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时,可适当地进行组合,简化运算.二、复数代数形式的乘除运算【例2】计算:(-l + 303(I + /)6-2 + Zl + 2z解:此率工(1+Z)6l+2z-8/(一心3W+3(f(扃*闻:=且-i=i-i=0.-Si温馨提示计算(a+bi)n时，一般按乘法法那么进行计算.对于复数l±i,计算它的n(n为大于或等于2的自然数)次方时，常先计算l±i的平方；对于复数±'±且i,计算它的n(n为大于或等于3的自然数)次方时，常22先计算它的立方.三，四那么运算的综合应用【例3设等比数列z11中，其中z=l,z2=a+bi,z3=b+ai(a,b三R,-S.a>0).(1)求a,b的值；(2)试求使z+z2+zn=0的最小正整数n；对中的正整数n,求ZlZ2Zn的值.解：.zZ2、Z3成等比数列,Z22=ZZ3,即(a+bi)Jb+ai,a2-b2+2abi=b+ai./a应解得，邛b=l'2 ,(2)VZi=I,Z2=÷-i22n1公比q二+±i22于是2fl1-q"Z1+z2+Zn=l+q+q-+qT=O,-qqn=(-÷-i)"=(-i)n(-+-i)=l,2222那么n既是3的倍数又是4的倍数.故n的最小值为12.=(-i)(-÷-i)66=(-i)66i)66=-l.2222温馨提示在复数中运用等比数列的知识，既能加深对复数和复数运算的认识,又能加强对数列知识的理解与运用.各个击破类题演练1设Z=x+2i,Z2=3-yi(x,yR),J.Z+Z2=5-6i,求x+yi.解：Z+z2=x+2i+3-yi=(x+3)+(2-y)i,X+3=5,Vz+z2=5-6i,，2-y=-6.*.x+yi=2+8i.变式提升1平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i,3+5i,求第四个顶点对应的复数.解：如右图，设点ZZ2,Z3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.假设ZD为对角线,那么ZZ4=Z2Z3,即Z4-Z1=Z3-Z2,.*.Z4=z3-z2+z1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=l+3i.(2)假设Z0为对角线，那么存=石耳，即Z4-Z1=Z2-Z3,Z4=Z2-Z3÷Z1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.假设Z2Z3为对角线，那么Z2Z4=Z1Z3,即Zi-Z2=Z3-Zi,：.Zt=Z3-Z+z2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.类题演练2Z=(a>0),且复数3=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于二，求复数.I-Z2(a+1)(ez-i)(a+l)(d-i)a+a2-a=1-Ii222。+ 1 =3-,即a2-l=3.2Va>0,a=2,=-3i.2变式提升2x,yR,且；二+y二51+2/1+3/,求x,y的值.解：+75l+3z可写成5x(l-i)+2y(l-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.类题演练3W”上;2,求最小正整数n.1-z1+z终质多虫诃业为(1+i)2"(l+0+(l-02n(l-0_9n解：原等式可化为+-2,22即(l+i)2n(l+i)+(l-i)2Jn(l-i)=22n,(2i)n(l+i)+(-2i)n(l-i)=22n,2nin(l+i)+2n(-i),(l-i)=22",in(l+i)+(-l)n(l-i)=2,假设n=2k(kM),那么i2k(l+i)+(l-i)=2,i2k=l,k=2,n=4.假设n=2k-l(kN*),那么i2k-l(l+i)-(l-i)=2,故2产=2,i2k=l,k=2,n=3.对于nM时，最小正整数为3.变式提升3电招i.(1+3D3(3+4)复数Z满足IZI=I+31-Z,求.z解：设z=x+yi(x,yR),代入z=l+3i-z,得JX'+y'=1-x+(3-y)i.由复数相等得H+丁=Ir3-y=0.解得x=-4,y=3.z=-4+3i.原式=(1+3Q3(3+4Q-4+3/二(l+3i)3=¾3=(-3+i)=-18+26i.