椭圆的92条经典性质及证明.docx
椭圆.PF+PF2=2a2.标准方程+£=13.中=e<l4.点P处的切线PT平分aPFF2在点P处的外角.5 .PT平分aPBF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8 .设Ai、A2为椭圆的左、右顶点，则APFFz在边PF2(或PFl)上的旁切圆，必与AA?所在的直线切于A?(或AI).X2v29 .椭圆f+<=l(a>b>O)的两个顶点为A(f,O),AS,。)，与y轴平行的直线交椭圆于P.P2时AR与A2P2交点Q-b的轨迹方程是建“10 .若(%,%)在椭圆£+4=1上，则过几的椭圆的切线方程是1+浑=1.ababx2y211 .若用(%,%)在椭圆/+*=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pl.P2,则切点弦PF2的直线方程是=1.ab221212 .AB是椭圆0+当=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则心b=-14，Ira222213.若4(x0,Y)在椭圆+=1内，则被P。所平分的中点弦的方程是笄+浑=与+冬.ababab222214 .若4(%,%)在椭圆+5=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是+与=¥+绰.abababx2v2111115 .若PQ是椭圆一Y÷7=1(a>b>O)上对中心张直角的弦，则yH=-+r储=OP乃。|).22Il16 .若椭圆三+专=1(a>b>O)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ar+By=1(ABO)JJ(1)-+=A2+B2;(2)_2Ja4A2+b4B2a2A2+b2B2,21217 .给定椭圆G：h2x2+a2y2=a2b2(a>b>O),C2:从/+/、2=(5二咒则对CI上任意给定的点P(Xo,%),a+b它的任一直角弦必须经过C,上一定点M(4/,-%).a+ba+b(ii)对C2上任一点P(X0；y0)在Cl上存在唯一的点”,使得M的任一直角弦都经过P'点.18 .设P(XO,%)为椭圆(或圆)C:J+与=1(a>0,.b>0)上一点，PR为曲线C的动弦,且弦PP,PPz斜率存在，记为a/rk,k2,则直线P1P2通过定点一平%)(m1)的充要条件是K=-T-na2y219 .过椭圆/+%=1(a>O,b>O)上任一点A(XO,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定b2t向且怎C=*A(常数).GyOX2y220 .椭圆/+j=l(a>b>O)的左右焦点分别为F,F2，点P为椭圆上任意一点/尸6=7,则椭圆的焦点三角形的面积为SMPF,二tan,P(±Jc-Zrtang,±tan今.尸TL21 .若P为椭圆/+$=1(a>b>O)上异于长轴端点的任一点,F,F2是焦点，ZPFlF2=a,ZPF2Fi=f则a-caa + c2229x V-22.椭圆一 + 4t = 1 (a>b>O)的焦半径公式：IMlI= + «/ JM鸟 =-60(6(-c,0) , K(C,0), (x0,y0). a b23.=1 (a>b>O)的左、右焦点分别为FlF2,左准线为L,则当=tantan.2-le<l可在椭圆上求一点P,使得PFI是P到对应准线距离d与PFz的比例中项.24二为椭圆0+2=1(2>40)上任一点问£为二焦点,人为椭圆内一定点，则2。-|4鸟PA+PFl2a+AF.tab当且仅当Ag,P三点共线时，等号成立.25.26.27.28.29.30.椭圆二+£=1(a>b>O)上存在两点关于直线/：y=Z(X-A0)对称的充要条件是J"二.ab'a+b-k过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.X=acos(OCl + sin2 “(a>b>O)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是/=y=bsn2222.x1-(+a"a1 cos2 a + Z/sii?。),其中设A,B为椭圆5+方=2(攵>O,A1)上两点，其直线AB与椭圆*+亲=1相交于RQ,则4P=BQ.在椭圆二十与=1中，定长为2m(o<ma)的弦中点轨迹方程为a-b OP2+OQF的最小值为孚与；(3) SA”。的最小值是孚区. a +ba +b37. MN是经过椭圆从+q2y2 =q2 (a>b>0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则ABf=2aMN.38. MN是经过椭圆/(a>b>0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦QP_LMV,则21111=1 aMN OP2 a2 b2 "tana=一一当y=0时，a=90.ayx2v231 .设S为椭圆二+2T=I(a>b>O)的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记AB=/,M(XO,%)是ABab“中点，则当S时，有(玉)3=一上(。2=/-我6=£)；当/<05时，有®)max=WT,(M)min=O.c2ea2bi2v232 .椭圆二十4=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A22+B2b2C2.ab33 .椭圆攵二班十空我E=I与直线Ar+By+C=O有公共点的充要条件是A?/+b?/(仇+3%+C)?.abx2y234 .设椭圆=+J7=l(a>b>O)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在4PFF2中，记N-尸鸟=a,abSinclcZPFE=氏gp=,则有.A=£二«.sinp+sna35 .经过椭圆从炉+a2,2=。2/(a>b>0)的长轴的两端点Al和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于Pl和P2,则12=2.-v2IIll36 .已知椭圆一7÷=1(a>b>O),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_LOQ.(I)H二-7÷3；a-b-IoPl-OQab39 .设椭圆1+5=1(a>b>O),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交ab于P、Q两点，则直线A|P、A2Q(A.A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线/：X=幺(或y=2)上.mm40 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF_LNF.41 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,AhA2为椭圆长轴上的顶点，AlP和AzQ交于点M,AzP和AlQ交于点N,则MFj_NF.221242 .设椭圆方程二十与=1,则斜率为k(k和)的平行弦的中点必在直线/：y=kx的共规直线y=kx上,而且kk=a-b-a-43.设A、B、C、D为椭圆=1上四点八8、CD所在直线的倾斜角分别为,/,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA卜PB_b2cos2jt-a1sin2/7PCPDb2cos2a+a2sin2a2244 .已知椭圆3+r=l(a>b：>0),点P为其上一点R,F2为椭圆的焦点，/"尸乙的外(内)角平分线为/,作B、F2分别垂直/于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是炉+ 丁2=。2(/,2 =2y2+2x(x±c)a2y2 +b2x±c)2).45 .设aABC内接于椭圆，旦AB为的直径，/为AB的共枢直径所在的直线，/分别交直线AC、BC于E和F,又D为/上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46 .过椭圆W+方=1(a>b>O)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交X轴于P,则PF_eMN2'47 .设A(x,y1)是椭圆二十=1(a>b>O)上任一点，过A作一条斜率为一一FL的直线L,又设d是原点到直线Lb”ayl的距离，4,与分别是A到椭圆两焦点的距离，则标d=ab.fV2V2v248 .已知椭圆-+2T=l(a>b>O)和二+4=%(O<<1),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则ababIABI=CDI.x2V249 .己知椭圆r+2T=l(a>b>O),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(Xo,0),则a0"<<50.a2-b2设P点是椭圆a>b>O)上异于长轴端点的任一点,B、F?为其焦点记,则IPKIlP玛=:”下.SA呻i=从tan"1+cos2251. 设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：X=于M,N两点,则NMBN=90O二”或a+mZr("+)52. 2y253. 1.是经过椭圆/+$=1(a>b>O)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点PL,若NEPF=a,则。是锐角且Sinae或a%sine(当且仅当P"=b时取等号).54. 1.是椭圆*+方=1(a>b>O)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PcL,e是离心率，4EPF=a,H是L与X轴的交点C是半焦距，则。是锐角且Sinae或msine(当且仅当|尸”|二约时取等号).55. 尸56. 1.是椭圆靛+$=1（a>b>O）的准线，E、F是两个焦点，H是L与X轴的交点，点尸L,/EPF=a,离心率为e,半焦距为c,则Q为锐角且Sina/或qzcsin/（当且仅当IP为I=IJa?十山时取等号）C2255.已知椭圆=+=7=I（a>b>O）,直线L通过其右焦点Fm且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点Fla"b"连结起来，则6A百8"4匚（当且仅当AB_LX轴时右边不等式取等号，当且仅当A、B、B三点共线时a左边不等式取等号）.56.设A、B是椭圆靛十31 （ a>b>O）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ZPAB = a, NPBA = 0,NBPA = y ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有IPAl=COSMQ）tancrtan=1-¢2.（3）SMAB=孕ICOt九a-CrCOS-ab-a2257 .设A、B是椭圆*+春=1（a>b>O）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点,且乙、4的横坐标乙4=/,（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则NPBA=NQBA；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则NRAB+NQAB=180.X2y258 .设A、B是椭圆靛+£=1（a>b>O）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不
