微专题6 基本初等函数、函数与方程.docx
微专题6基本初等函数、函数与方程高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.【真题体验】1.（2023天津卷）若=L01°5"=1.01°6,c=0.6°5,则",C的大小关系为（）A.c>a>bB.c>h>aC.a>b>cD.h>a>c答案D解析法一因为函数KX）=I.0N是增函数，且0.6>0.5>0,所以l.Ol6>l.Ol5>l,即b>a>；因为函数g（x）=0.6x是减函数，且0.5>0,所以0.6°5<0.6。=1,即CVL综上，8>>c.故选D.法二因为函数/）=1.0IX是增函数，且0.6>0.5,所以LOi6>1.01°5,三Pb>a；因为函数（X）=-5在（0,+8）上单调递增，且1.01>0.6X）,所以1.01°5>0.605,即>c.综上，6>>c故选D.2 .（2023全国甲卷）已知函数«x）=e（3Ip.记。=坐>匕=/坐），C=<当），则（）A.b>c>aB.h>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案A解析函数段）=e-（-l）2是由函数y=e"和=一（X1尸复合而成的函数，y=e"为R上的增函数，=（xI/在（-8,D上单调递增，在（1,+8）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，7U）在（一8,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.易知7U）的图象关于直线X=I对称，所以。>c>,故选A.3 .（多选）（2023新高考I卷）噪声污染问题越来越受到重视相声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=20X1端，其中常数PoSO>0）是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级dB燃油汽车1060-90混合动力汽车1050-60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为pi,“2,则（）A.p2"2B.p2>lp3c.p3=100poD.p100p2答案ACD解析因为4=20X1端随着的增大而增大，且Lp60,90,Lp250,60,所以Lpi2Lpz,所以pi20,故A正确；32LP3假设p2>10p3,则pol">lpol",1.PZ33所以l>10,所以42Lp3>20,不可能成立，故B不正确;由LP=20XIg,得P=Pcl。?。因为Lp3=40,40所以3=810m=10°。，故C正确；因为曙LP2 100)10"j"LPlPOIoG7lP2 lP =10+2 1u20 201 ”所以PIWlOOp2,故D正确.综上，选ACD.4 .(2021北京卷)已知"r)=lgx一乙一2,给出下列四个结论：若Z=O,则火x)有两个零点；衣<0,使得7U)有一个零点；就Vo,使得yu)有三个零点；被>o,使得yu)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案解析令yw=Ilg川一日一2=o,可转化成两个函数y=lgx,y=kx+2的图象的交点个数问题.对于，当Z=O时，”=2与y=lgx的图象有两个交点，正确；对于，存在M0,使户=辰+2与y=lgx的图象相切，正确；对于，若A<0,则y=lgR与户=履+2的图象最多有2个交点，错误；对于，当心0时，过点(0,2)存在函数V=IlgxI(X>1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故正确.5 .(2023天津卷)若函数段)=公2一级一丫一公+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为.答案(一8,0)U(0,1)U(1,+)解析(1)当。=0时，氏¥)=2xf+l=-2-f1=-(x+l)2W0,不符合题意；(2)当白0时，若24W0,即-2,O)U(O,2时，¥)=加一2-2+0-1=(一l)x2+(-2)x1,(i)当。=1时，yu)=-x1,不符合题意；(ii)当“l时，若Kr)有且仅有两个零点，则/=(02)2+431)=>0,得-2,0)U(0,1)U(1,2,符合题意；当a2-4>0,即a>2或a<2时，J(x)=O等价于0x2-2x=x2-÷1|.(i)当a>2时，函数y=ax2-2x的图象开口向上，对称轴为直线x=,且(,3)；函数y=for+l的图象开口向上，对称轴为直线x=*且?>1，当2X=垓时，y=q+lv.作出函数y=02-2X与y=2-0x+l的大致图象，如图(1),函数图象恰有两个交点，符合题意；(ii)当a<-2时，函数y=ax1-2x的图象开口向下，对称轴为直线x=,且(eH-4函数y=f双+1的图象开口向上，对称轴为直线X=会且衣一1,2当X=W时，y=(+IvO.作出函数y=x2-2x与>=*r+l的大致图象，如图(2),函数图象恰有两个交点，符合题意.综上可得，(-8,0)U(0,1)U(1,+).【热点突破】热点一基本初等函数的图象与性质I核心归纳1.指数函数y="Y>O,且1）与对数函数y=logd（。>0,且0l）互为反函数,其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分OVaVI注两个函数图象的异同.2.幕函数y=K的图象和性质，主要掌握4=1,2,3,例1(1)已知lg+lgb=0(0>0且Q比>0且少#1),IOgU的图象可能是()AB44CD(2)(2023天津模拟)已知e"=lg2,b=lg(ln2),C=In:是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a答案(I)B(2)C解析(I)Vlga+lg4=0,*cb=1f:a=马,.g(x)=IogU=Iogd,b(x)=r与(x)=Iog-X互为反函数，b；/(X)=*与g(x)=k>gU的图象关于直线y=x对称，b,a>两种情况，着重关I，一1五种情况.则函数於）=出与g（x）=-J会则a,btC的大小关系且具有相同的单调性.故选B.(2)由e=lg2,得。=In(Ig2),因为ig2<igT=,所以In(lg2)<ln5,即a<c,因为I=In/<ln2<1,所以一Ivc=In=_ln2v-则Ig(In2)>lg>lg苏=T所以Ig(In2)>ln今即b>c9所以a<c<b.规律方法1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数。的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数。的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.训练1(1)(多选)(2023邯郸模拟)已知函数/)=log2(x+6)+log2(4x),则()A7U)的定义域是(一6,4)Byu)有最大值C.不等式y(x)<4的解集是(-8,-4)U(2,+)D.x)½0,4上单调递增(2)(2023日照模拟)对任意正实数小记yU)=lgx在+8)上的最小值为人,g(x)=sin50,4上的最大值为Ma,若MLWa=则a的所有可能值为答案(I)AB(21或x+6>0,解析(1)由题意可得C解得一6<v4,4>0,即7U)的定义域是(一6,4),则A正确；fi.x)=log2(-X22x+24),因为>=/2x+24在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，又y=log2X在(0,+8)上单调递增，所以兀0在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，所以yU)max=(-l)=21g25,则B正确；因为40在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，且共-4)=A2)=4,所以不等式於)<4的解集是(-6,-4)U(2,4),则C错误；因为“X)在(-1,4)上单调递减，所以D错误.(2次x)和g(x)的图象如图所示：当0<«<1时，nia=0,=Sin爹,.a11,.Ma-ma=sn2=ya=y当21时，m°=lga,Ma=1,Ma-maz=I-Iga=y0.热点二函数的零点I核心归纳判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断；(2)代数法：求方程yu)=o的实数根；(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考向1函数零点的判断例2(2023赣州模拟)若函数段)=工一六，则方程/一%)一6=0的实根个数为()A.3B.4D.6C.5答案A解析由於）=x=<X-, x>0,x+, <0,则可作出函数yu)=x一七的图象如图:由方程/。)一/U)6=0,得yu)=3或火不)=2,所以方程/一/U)6=0的实根个数为3.考向2求参数值或取值范围例3(2023广东名校联考)让巴普蒂斯哟瑟夫傅里叶，法国欧赛尔人，著名数学家、物理学家.他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级兀2+8(1)”数来表示，如定义在R上的偶函数人r)=y+4"JUcoszu-满足人2兀-x)=J(X),且当x0,兀时，有y(x)=x2,已知函数g(x)=(x)-(x+)有且仅有三个零点，则。的取值范围是()(Ctfa124ju2)B.(一74)答案A解析令z(x)=(x+),则析x)的图象是过点(一兀,0),斜率为。的直线.由人2兀一)=(x)可知应¥)的图象关于直线X=Tt对称，又40为偶函数，可画出/U)和z(x)在同一坐标系下的图象(如图为67>0时的情况).g(x)有且仅有三个零点，则7U)和MX)的图象有且仅有三个交点.当。=0时，显然不成立;当G>O时，由图可得，h()=2a<rih(3)=4>2,解得；<松；7TT当。<0时，由对称性知一V4<一综上，4的取值范围是（一冬一彳）U仔'，故选A.考向3零点的代数式问题例4（2023武汉模拟）设函数/）=L/=、'ZI关于X的方程段）=，有llog2（X4）x>4,四个实根XI,X2,X3,X4（X1<X2<T3<X4）,则Xl+&+工3+/T4的最小值为.答案10解析作出於）的大致图象如图所示.由图可知X1+x2=4,log2(-4)1=7(2)=4,得X=3或20,则5<*4<20.又因为10g2(X3-4)+Iog2(44)=0,所以(X34)(X44)=1,所以13=±+4,则制+$4=Ia44)+
