微专题7 导数与函数的单调性、极值、最值.docx

微专题7导数与函数的单调性、极值、最值高考定位利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.【真题体验】1.(2023新高考11卷)已知函数外)=浸一InX在区间(L2)上单调递增，则。的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-2答案C解析因为函数外)=qex-Inx,所以)=er-1.因为函数/)=4e-Inx在(1,2)上单调递增，所以/(x)20在(1,2)上恒成立,即讹一320在(1,2)上恒成立，易知>0,则0<Wxev在(1,2)上恒成立.设g(x)=xex9则g<x)=(x+l)e.当x(L2)时，()>0,g(x)单调递增，所以在(L2)±,g(x)>g(l)=e,所以we,即2:=e,故选C.ClCbc2.(多选)(2023新高考H卷)若函数Jx)=an彳+:+在。Wo)既有极大值也有极小人v值，贝|()A,.bc>OB.ab>OC.+84c>0D.ac<0答案BCDbc解析因为函数j(x)=anx+-+2(aO),所以函数7U)的定义域为(0,+8),ax2bx2c/(x)=p-因为函数段)既有极大值也有极小值，所以关于X的方程ax1-b-2c=0有两个不等的正实根Xi,X2,rb2+Sac>0f产。，bn贝川加+也>0,即J/U'lxx2>O,-2c庐+80c>0,Iab>Ot所以C故选BCD.ac<09bc<O,3.(2022全国乙卷)函数次X)=CoSX+(x+l)sinx+l在区间0,2兀的最小值、最大值分别为()C3A.-2，2B.2C兀兀ICC3兀兀八C.-+2D.三，/+2答案D解析(x)-cosx÷(x÷l)sinx÷1,xO,2,则/(X)=-sinx+sinx+(4+l)co>%=(x+1)COSx,x0,2.令Fa)=0,解得工=一1(舍去)，jr3X=或x2'因为y=cos+(j+l)sin5+1=2+；,()=cos多+怎+1)Sin争+1=-当，又JO)=CoS0+(0+l)sin0+1=2,/(2)=cos2÷(2÷l)sin2÷1=2,TrTL所以 /U)max =/(1) = 2+,U)min=g)=一当.故选 D.314.(2022全国甲卷)已知=豆,1-41-4/!X.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案A解析 因为 6=COS 1=12sin2,所以ba=-令y(x)=xsinx,则/(x)= 1 cosx20,所以函数7U)在R上单调递增,所以当心>0时，yu)M)=o,即有x>sinx(x>O)成立，所以*>sin上，得2>sin2,所以比>.1 - 4 n 4ta =4 1-4-1所以令g(x)=tan-X,cos2x÷sin2x1cos2x则g'(kBT=Fr2，所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当心>0时，g(x)>g(O)=O,即有tanx>X(X>0)成立，所以tan；>不即4tan1>1,所以又比>0,所以Ob.综上c>b>故选A.5.(多选)(2022新高考I卷)已知函数yU)=x3-+l,则()AU)有两个极值点B«r)有三个零点C.点(O,1)是曲线y=(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线=U)的切线答案AC解析因为yu)=x3-x+,所以F(X)=3/一i.令F(X)=3一1=0,得X=±坐.由/(x)=3x2-10得G坐或x一坐;由F(X)=3f10得一曰x坐所以yU)=%3x+在(坐，+8),18,一坐)上单调递增，在(一坐,坐)上单调递减，所以yu)有两个极值点，故A正确；因为T(X)的极小值周=惇一尊+1=1-苧0,12)=(2户(2)+1=50,所以函数段)在R上有且只有一个零点，故B错误；因为函数g(x)=x3-的图象向上平移一个单位长度得函数兀v)=Rx+1的图象，函数g(x)=x3-的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,D是曲线yu)=-+的对称中心，故C正确；假设直线y=2x是曲线y=y(x)的切线，切点为(X0,o),则f(XO)=3xo1=2,解得XO=±1；若Xo=1,则切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上；若刈=1,则切点坐标为(-1,1),但点(一1,1)不在直线y=2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.【热点突破】热点一利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.考向1求函数的单调区间2例1已知/U)=(-Inx)+-7一,R.讨论/(x)的单调性.2 l 2(or22) (-1)f(x)=a解40的定义域为(0,+8),.v,若W0,当x(0,1)时，/(x)>0,7U)单调递增,当x(l,+8)时，/()v,兀V)单调递减;a (-若 a>0, f(x)=产x+当 x(O, 1)U当 x 1,时，/()<o, yu)单调递减.当。=2时,当0<<2时,1,+8)时，/()>o, yu)在(0, 1=1,在X£(0, +8)内,+8上单调递增,/()o,yu)单调递增.当。>2时，O<J1,当x当 0,U(l, +8)时，/()>0,/)在 0,1时，<o, 7U)单调递减.，+8)上单调递增,综上所述，当W0时，段)在(O,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减;当0<v2时，丸0在(0, 1)内单调递增，在1,内单调递减,+o°内单调递增;当。=2时，/)在(0,+8)内单调递增;当a>2时,内单调递增,1内单调递减，在(1, +)内单调递增.考向2单调性的应用例2(1)(2023西南大学附中质检)若函数应¥)=(-2CoSX)SinX+X在R上单调递增，则。的取值范围是（）八111lA.0,2B.2»2C.（-8,一；）D.O（2023河北名校联考）已知/（x）为7U）的导函数,满足tan上了（戏次幻,若Q=Z尼），）=例e），C=¥/住），则下列大小关系正确的是（）A.a<b<cB,a<c<bC.b<a<cD.c<b<a答案(I)B(2)A9-2解析(1»(JV)=0cosx÷2sin2-2cos2x÷=6rcos:/U)在R上单调递增，/(x)20在R上恒成立.C9令COSX=f,z-1,1,得g(f)=42+m+,r-1,1,根据题意g在1,1上的最小值为非负数，g(1)0,Ig川，(2)根据题意，tanx(x)>(x),即tanx(x)/U)>0,即黑点八功A')>°，gP-sinxf(x)-cosx(x)>0,所以sin2x p(X)cos x sin X>0,分析可得,当（,时，cosx>0,y>0,当Xg,，时，COSX<0,fsi；）<0,所以函数gQ）=j在（0,外上单调递增,IlA-在俘兀）上单调递减，043规律方法1.讨论函数的单调性一般可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集.2 .函数yu）在区间。上单调递增（或递减），可转化为/a）2o（或Fa）WO）在xo上恒成立.3 .若函数y=x）在区间3,份上不单调，则转化为/（X）=O在（如力上有解（需验证解的两侧导数是否异号）.4 .函数40在区间D上存在单调递增（或递减）区间，可转化为/（x）>0（或/（x）<0）在x。上有解.训练1（1）（2023晋中二模）已知=lnLb=竽c=,则下列判断正确的是（）A.c<b<aB.b<a<cD.c<a<bC.a<b<c（2）（2023青岛质检）函数7U）=excosHr（0,兀）的单调递增区间为（）A(O,9c(o,引B.,j(3、D(j，兀2上存在单调递增区间，则用的（3）已知函数次工）=（工一1心一如在区间xl,取值范围为（）A.(0,e)B.(-,e)C.(0,2e2)D.(-,2e2)答案解析(DC (2)D (3)D-nx 1 1X1 -In X99x-xIn(1)设兀V)="Ta>o),则)=v当x(0,e),/(x)>0,TU)单调递增；当x(e,+8)时，/()<0,共功单调递减.6F=ln啦=；ln2=帛n2=1ln4=犬4),。1又b=J(3),c=(e),e<3<4,且"r)在(e,+8)上单调递减，所以14)勺(3)勺(e),所以4<*c.(2»(X)=e-cos-Qxsinx=-qx(cosx+sinX)=2evsinCx÷当(,引时，ev>0,Sin(X+">0,则la)V0；当w(亨,)时，ex>0,SinLr+j<O,则/(x)>0.危)在(0,Tr)上的单调递增区间为传，兀).(3) ,.x)=(-l)er-AZtr,(x)=xev-/H,;Z(X)在区间1,2上存在单调递增区间，'(x)>0在口，2上有解，即加e'能成立，令g(x)=xex,x三l,2,则g<x)=+i)c>o恒成立，ga)=XeX在口,2上单调递增,*g(x)max=g(2)2e2,：n<2e2,故实数机的取值范围为(-8,2e2).热点二利用导数研究函数的极值由导函数的图象判断函数y=(x)的极值，要抓住两点(1)由)，=/(X)的图象与X轴的交点，可得函数y=(x)的可能极值点.(2)由y=(x)的图象可以看出y=(x)的函数值的正负，从而可得到函数y=J(x)的单调性，进而确定极值点.例3已知函数,*X)=$一(2一。+l)+(2-I)InX+2,若当。>0且0l时,40存在一个极小值点xo,且xo>3,求实数。的取值范围.解)=2Q足4+l)x+(2I)InX+2,、. l la 1f(x)=a-(2a2 a+) +-加一(2/4H) + (2a1)X(or1)x(2-1)=x，由/(x)=0,解得X=5或=2-l,若0<弓则2-l0,2,故当(o,3时，<o,兀0单调递减；当xg+j时，/()>