2024届二轮复习 专项分层特训卷二主观题专练12函数与导数理 作业.docx
函数与导数(12)1. 2023四川模拟预测已知函数F(X)=e,-ex+ax(l-Inx).若a=0时，过点(0,0)作曲线y=f(x)的切线/,求/的方程;(2)若函数f(x)在x=l处取极小值，求a的取值范围.2. 2023陕西汉台中学模拟预测己知函数F(X)=InX+：+仅®bR).(1)求函数F(X)的极值；(2)若函数/6)的最小值为0,乂，用(小加)为函数/*)=?)一；的两个零点，证明:ex2-eln>2.3. 2023河南郑州三模设函数U)=*2-*+mnx(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;若4)存在两个极值点，证明：SX二丁)34. 2023山西运城模拟预测己知函数F(X)=X-a(l或+1)+6在点(2,*2)处的切线方程为V=(3e2-l)X-Ae2.(1)求a、，的值；(2)若关于X的不等式f(x)2履恒成立，求实数k的取值范围.5. 2023江西南昌三模己知函数F(X)=e*TaX-Igo,aR).(1)当a=l时,判断F(X)的单调性；(2)若a>l时，设X是函数F(X)的零点，照为函数F(X)极值点，求证：汨一2照<0.CinvJJ6. 2023全国甲卷(理)已知函数f(x)=ax-,x(0,).cosX2(1)当a=8时，讨论F(X)的单调性；(2)若F(X)<sin2x,求a的取值范围.函数与导数(12)1 .解析：(1)a=0时，FO)=ex-eff(*)=e1-e.设切点(矛”ex-ex)f则f(x)=ex-et故切线/的方程为y=(e*ie)(-x)+铲-ex,由于切线/过点(0,0),则O=(铲】一。)(一小)÷ex-ex,即(汨-1)e*=O,解得汨=1,故切线方程为y=0.2 2)>0,f(X)=ex-an-e,f(1)=0,令g(x)=f(x)=er-alnxe,则g'(x)=e'*当a<0时，可知g'(x)>0,g(x)在(O,÷)上单调递增，又g(l)=0,贝Ijx(0,1)时，g(x)<0即F(x)<0,fCx)单调递减，x(1,÷o°)时，g(X)>0即F(X)>0,F(X)单调递增,故/(x)在x=l时取得极小值，故庐0满足条件.当aO时，则g'(x)=e*：在(O,+)上为增函数，又/(1)=e-at若a=e,g,(1)=0,当XE(0,1)时，g,(x)<0,g(才)即f(才)单调递减，当Xe(I,+8)时，g'(X)0,g(x)即f(x)单调递增，而F(I)=0,于是6(X)20,即函数f(x)在(O,+)上单调递增，不合题意；若a>e,g>(1)<0,而g'(a)=g-1>0,则存在Xo(1,a)使得g'(Ab)=0,且x(O,Xo)时，g,()<0,则gO)即f(x)单调递减，又F(1)=0,故x(0,1)时，f(照)>0,f(x)单调递增，x(1,施)时f(x)<0,F(X)单调递减，此时x=l为F(X)的极大值点，不合题意.ae(x)若O<a<e,则g'(1)>0,限定0<<1,故g'(x)=e*e?=,于是当O<K1且底色时，g,(才)<0,那么存在小(0,1),使得/(XI)=0.e所以Xe(1,+)时，g,(Xi)>0,g(*)在(小，÷o°)上单调递增，而g(1)=0,于是，Q(Xi,1)时，gQx)<0,即f(x)<0,f(x)单调递减，x(1,+o°)时，g(X)>0即f(X)>0,f(X)单调递增，此时*=1为F(X)的极小值点，符合题意.综上所述：函数f(才)在x=l处取极小值时a的取值范围是(一8,e).2 .解析：(1)VfCx)=lnjv÷-÷>(a>0),:.f(x)=-=2dtXXXX若aWO时，则f(X)>0恒成立，F(x)在(O,+)上单调递增，故F(X)没有极值；若GO,则当x(O,a)时，f(x)<0,Fa)单调递减，当x(a,+)时，f(X)>0,F(X)单调递增，(x)有极小值，极小值为F(a)=Ina+6+1,无极大值.(2)证明：由(1)可知，当a>0时，/(*)有最小值，/O)/n=lna+b+l,由函数F(x)的最小值为0,得lna+b+l=O,由题知g(x)=F(X)-=lnA÷+b-,/=ln+2+Z>-1=-ln2<0,1+e+-=e-1>0,g(ea)=l+lna+，+b<=，一<<0,g(4a)=In4+lna+J+8一=ln4一,0,QZZ4/4eWx2<4a,.*.eXzeln%i>eMeln(a>0),Y令h(x)=w-111?则力'=e(e”p令夕（x）=eej-则夕（才）在（O,÷）上单调递增,又dO=0,'在(0,上'p(x)<0,h,(x)<0,h(x)单调递减, h ( ¥)n>n在（%+8）上，p（X）>0,h,（x）>0,h（彳）单调递增,e1e”-eln=e-eln=e÷eln2e>2,ze/.e%2-el11>2得证.r2I3 .解析：(1)F(X)的定义域为(0,÷o°),f(x)=2a,-1÷-令2Vx+a=O,当Zl=I8aW0时，BPa,f(x)20,F(X)在(O,+)上递增,O当Zl=I-8a>0时，即0<水细"，2/一x+a=0,O解得X尸匕严，兹二匕严,当F （*）>0时解得0<«匕正或Xw,所以函数在（0,),（止q三药，+8）上单调递增,当F （X） <0时解得l-l-8az yl+l8aj,<K31,所以函数f（x）在（1十年呵上单调递减.综上，当a时，函数的单调增区间为（0,+8）；当0<水：时，函数的单调增区间为OO(0,m, （1±尸，+8）,单调减区间为（1 -41 8a 1 +1 8a（2）由可知，F（X）存在两个极值点如即0<水!,Oa小，也为方程2/+a=0的两个不等正实根，小+在=$,xX2=-乙匕f(X)F(X2)父一小+aln%-3+及一4111及X-XiXXz22、(尤x>)(Xi-尼)+a(InXI-Ina)X-×21 , InXl- In 照j+z.2X-×2zl、,lln-ln2-2)-1+ciX-X2(Xi)-F(生)一Iaqtir11InM-Ina、，1要证“a,成立，只需证一5+aV&>3-5日 1'十 InXl- In 及、，即证>4,小一生l,lnx-111v2即证>,-,X-X2X-X2BPiiEInxilnx2>2(-1)V1X2设Xi>a>O,即证In->,范+1Xz令t=->1,即证Inr;丫工)，Xlci1设hQt)=InL2(：J),h'(t)=;Jl),O,力(力在(1,+)上递增,wIXCc«IAz方>(1)=0,所以Ma*4成立,即I击二,也)>4af4.解析：(1)因为f(x)=Xe'a(111-ln2÷l)+6,则f,(x)=(÷1)ev-X所以ff(2)=3e2=3e2-1,解得a=2,V所以F(x)=xe2(ln-÷l)+6,所以F(2)=2-2+6,由切线方程可知F(2)=2(3e2-l)-4e2=2e2-2,所以2e*2+b=2e?-2,解得力=0.XX(2)由(1)知F(X)=xe2(ln÷l)(x>0),所以xe'2(ln÷l)所以e4-ln-(x>0)恒成立，X2X2x2即Aex-In-ni11(t>O),X2X令g(X)=其中x>0,所以，(x)=ex-()ln÷Zez÷21nXV9令力（x）=e'÷21n,其中x>0,所以力'（x）=（f+2x）e÷,因为x>0,所以方'（X）>0,所以方（X）在区间（O,+）上单调递增,又力（1）=eln4>0,/（S=乎-lnl6<0,所以存在xo（；,1）,使得力（XD）=0,即京e%+21磋=0.当x（O,o）时，h（X）<0,g,（才）<0,函数g（x）单调递减；当才（心+）时，hQx）>0,g,（X）>0,函数g（x）单调递增，2x2所以g（x）IIin=g（刖）=ex°Irr,qZJfb由尤e*o+21nf=0,得加/。+马*=。,乙Xa22In-L2即bex°=-In-,即bex°=eoln-.XqXoXo令(x)=xef其中x>0,所以夕,(X)=(x+l)e'>0,所以0(X)在区间(0,+)上单调递增，由xoe"。=。®焉1112,得夕(Xo)=/In-),所以M=In2,AbXq)Xo所以屋。=2,In。=一与，XoZ当x(Ina,÷o°)时，h,(x)>0,则f,(x)在(Ina,÷o°)为增函数;VA(Ina)<h(0)=0,当at->÷o°,h(x)-÷o°,所以存在x°(Ina,+8),使得/(用)=0,即OAb-M-I=O,所以a=JVb所以f(x)在(0,施)上单调递减，f(x)在(XO,+)上单调递增，V/(x0)CF(O)=0,当x-+8,F(X)->,所以F(X)在区间(施，+)必存在一个零点令x=2xo,则：/(2zo)=e2x°-a(2o)2xo1乙= q2xqevo-12 Ab(2o) -2xo-l=e2x0-2ex0 -1>设g(x)=ex-2xex-l(x>0),则/(Ar)=2e'-2(jH-1)ex=2ex(eAx1),由(1)知，g'(X)>0,所以g(x)在(0,+)为增函数，g(X)>g(0)=0,所以F(2加)=e2x0-2ex°-1>0,根据零点存在判定定理可知x><2o,即x-2o<0.6.解析：（1）当a=8时，fix）=8-,万），(X) =8cos4÷3sinos2fCl236=8+2.COSXCOSXCOSX令则S+8），令力(力=-3f2+2r+8=-(3f÷4)(f-2),当f(1,2)时，力(力>0；当r(2,+)时，h(r)<0.故当Xe（0, S时，f1(X) >0, F(X)单调递增;当Areei¼f(*)<0,F(X)单调递减.'(x)在区间(0,S匕单调递增，在区间(；"，上单调递减.SinX(2)令g(x)=*(x)-sin2*=a*1sin2x,cosX则g,(X)=cos*x÷3sin2Arcos2xcosx2cos2x=acos%+3sin2*cosx4cosj+2=a-一2+3当W3时,g (幻<0,:g (x)在(0，上单调递减,又 g(0) =0,当 X£ 0I时，g (x) <0,即 f (x) <sin2x
