点集拓扑试题.docx

i、设=m,c,下列集族中，X上的拓扑是（）.T=X,°,0,b,cTX,a,a9b,a,cT=X,°,与,4,cT=X0,力,c2、已知X=a,瓦c,d,拓扑T=X,0,4,则面二（）0Xb,c,d3、设X=,b,c,拓扑T=X,0,4,dc,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）12344、在实数空间中，有理数集。的边界8（。）是（）。QR-QR5、在实数空间中，区间。1）的内部是（）。0,1（0,1）6、设X是一个拓扑空间，AtB是X的子集,则下列关系中错误的是（）d（A<jB）=d（A）ud（B）AuB=AuBd（Ac5）=d（A）cd（5）A=A7、设X=L2,3,T=W,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑,A=2,3,则X的子空间A的拓扑为（）T=M3,2,3T=3A2,3T=MX,2,3,2,3T=W,X,38、设X=XX2xxX6是拓扑空间X1,X2,X6的积空间.耳是X到Xi的投射，则6是（）单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射9、离散空间的任一子集为（）开集闭集即开又闭非开非闭10、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）整数集Z有理数集无理数集整数集Z的补集Z二、填空题1、设X=m,。,则X的平庸拓扑为；2、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个；3、正则的7；空间称为；4、若任意"1个拓扑空间X,X2,，X“，都具有性质?，贝IJ积空间XXX2XXX也具有性质尸，则性质P称为；5、八Xy是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且y的拓扑是对于映射了而言的商拓扑，则称/是一个；四、证明题1、设/：Xy是从连通空间X到拓扑空间的一个连续映射.则/（X）是y的一个连通子集.2、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.3、设*是右空间X的一个收敛序列,证明：%.的极限点唯一.4、证明空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.5、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，VuX.证明：如果Wnyn4,则Y也是X的一个紧致子集.拓扑试题1卷一、单项选择题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题1、T=X.2、可分空间3、”空间4、有限可积性质5、商映射三、证明题I、证明：如果/（X）是Y的一个不连通子集，则存在y的非空隔离子集48使得/(X)=AuB于是FT(A)JT(B)是X的非空子集,并且：(,(AyC尸)u(,(B)n尸(A)u(尸(A)c/-,(B)u(,(B)n/-1(A)=,(AnB)u(AnB)=所以尸(A),尸是X的非空隔离子集此外，r(A)u/-,(B)=/-,(AuB)=/-1(/(X)=X,这说明X不连通，矛盾.从而/(X)是y的一个连通子集.6分2、证明：若X满足第一可数公理，则在xX处,有一个可数的邻域基，设为VX,因为X是可数补空间，因此对yX,y工x,X-y是x的一个开邻域，从而三匕Vr,使得匕,uX-y.于是yuv,3分由上面的讨论我们知道：x-=UUuUv/yx-x)yx-y因为X-%是一个不可数集，而U匕；是一个可数集，矛盾.y×-从而X不满足第一可数性公理.6分3、证明：若极限点不唯一，不妨设IimXj=y,IimXj=%，其中Y%，由于f00X是心空间，故M和各自的开邻域UW，使得UCP=O.因IimXj=y,f故存在M>o,使得当i>N时，XiEU;同理存在可2>0,使得当i>M时，xjeV3分令N=maxN,N2,则当i>N时，xjUnV,从而UnVi矛盾，故xj的极限点唯一.6分4、证明：设C是7；空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取乂了。了工丁.对于7；空间X中的两个无交的闭集x,y，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射了:X0,l,使得/(x)=0和/(y)=i3分由于C是X的一个连通子集，从而/(C)连通，由于O,1(C),所以Ae)=0,1,由于0,1是一个不可数集，所以。也是一个不可数集.6分5、证明：设A是任意一个由才中的开集构成的V的覆盖，因此A也是力的一个覆盖，由于4是才的紧致子集，从而A有有限个成员A,A使得nUAjnA.3分/=1由于力是正则空间的紧致子集，从而力有一个开邻域u,使得。u0a，从/=1n一而有UAinAny,从而A有有限子覆盖4,，A”,因此Y是X的一个/=1紧致子集.6分