数理方程试题.docx
一 .判断题（每题2分）.1 .兽+呼=），是非线性偏微分方程.（）oxyox2 .绝对可积函数一定可做FoUrier积分变化.（）3 .E（X）是次Lege力e正交多项式，则居=L（）4 .<y,y）=0的解是调和函数.（）5 .已知”,是线性偏微分方程“r+"XV=f（x,y）的解，那么2'是W=O的解.（）二 .填空题（每题2分）.1. %-+wvv）=sinxt是型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为。时，试建立方程的定解问题.3. X2的Legendre正交多项式的分解形式为.4. 某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为。W,初始速度为-渤（X）,那么弦振动规律为.5. 1.en,t,n（s）=.三 .求解定解问题（12分）ul-a1uxx=AsintJx=O=""x=°wL=o=o四 .用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）=l,x>0,y>0;叱=o=y+L“IV=O=1.y"+2p-3y=dy=o=&y'M）=.五.某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为COSX,求弦的自由振动规律。（12分）六.设有长为。，宽为b的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为X,内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分）七.判断以下方程所属类型并求其标准形式（8分）yuxx+xuyy=OA.表达并证明LaPIaCe变换的微分性质和卷积性质。（12分）数理方程试卷答案一判断题(1)XXVVV二填空题(1)抛物“xr+%>=°，/+y<r2o()÷ftW(4)x+)+x-cit)J(t)dtm(s-a)”用三解：有条件知固有值为4咛P,固有函数系为：n=cosX,n=0,1,2,.(3分)设M(Xj)=WT(0cos竿Xn=0/带入方程得W芭XO+l(t)CoS竿X=ASin初(2分)n=0'I.,.Tq'(O=ASinM)1")+(等=。(4分)?；,(O)=OAT0(t)=(1coscot),得7；=0,"=l,2,.(4分)Aw(x)=(1-cost)(1分)四,解;对u(x,y)关于y作LaPlaCe变换,不妨设U(x,P)=Lu(x,y)(p)(1分)对方程两端同时作Laplace变换得d(pU(x,p)-1)=1dxp(3分)dU(x,p)_1dxpdU(x,p)=1(3分)dxp2且U(O,p)=-HPP,U(X,P)=-X-H13分)PPP/.u(x,y)=xy+y+(2分)(2)设y(p)=L)c)(p)1分)对原方程两端同时作Laplace变换得：p2Y(p)-l + 2pY(p)-3Y(p) =p-i(4分)3 1113 1H16 p -1 4 (p-1)216 p + 3(3分)/、 3 / 1 z 3-3, )'(1) =e +Tee16416（4分）五.解：建立方程ull = a2uxx OVXV +, t>0,4=0=°，Mzz=o=cosx（3 分）wx Ix=O=0由方程的边界条件，对原问题做偶延拓，得到无界弦的转动方程u ,ll = a1u 1 - <x< +,，> O "'Lo=O' Mz,r=0=cosx根据达兰贝尔公式得u '(x, t) = 一f 'cossds = sinxcos/ 2a j-a,a从而，原问题的解为1 rx+atw(x)=cos sds - - sin XCoS at2a j-a,a六.解：定解问题为（4分）（3分）（2分）urr+un,=OO<x<,O<y<Z?yy'wLt=o=*wL=d=°(2分)Wko=。,uy=b=x(2分)由初值条件得固有值4=(巴P,固有函数系为Xz,(x)=sin-,n=l,2,.aa÷÷n方程的解为(%,y)=Zx"(x)%(y)=ZSinxYn(y)w=o=oQYM-Wy)=(2分)njL”/MTV(y)=C"+o*/代入原方程得心,y)=(Cne'y+-")sin-%又u(x,O)=O,u(x,b)=x解得Cn+Dtl=O(C叼八、.ncb.n.(3分)(Cne"+Dnet,)smx=XSInXdXaj0a（3分）MbrlMb-yz、铲e"i一一L.n小八、”(x,y)=Z应S-snX(2分)n=e"e“a)2 + = 0七.解：显然X,y不同时为零，A=-盯，特征方程为(1分)（1）当A=-肛>0时，方程式双曲型的。（1分）x<O,y>O时，特征方程是包 dx,解得（一元）2±产=仇,2，（1分）令=(-x)=yK得标准型为W-U+7("-)=(1分)3当yvO,x>O时，特征方程是电= dx标准型为uu+-)=0(1分)3（2） =-xy-0,抛物型。标准型为uxx=0,或uyy=0o（1分）（3） =-<O,椭圆型。特征方程解为（一xN±3=S2（1分）令g = 得标准型为U尉1 zwf 八 3 =Oo (1 分)A.证明：微分性质“乡f(r)(s)=式"G)-(0)(2分)dtady-=esi-f(t)dtdt%dt=£xe-s,df(t)=f(t)e-s,-f(t)de-s,(3分)=-/(O)+ses,f(t)dt=sLf(t)(s)-/(O)卷积性质Uftf2(r)(5)=Lfi()(5).Lf2(t)(s)(2分)1."*人i=1()f2(t-)de-x,dt二；J：/«)I/(Lr)""-'力八(5分)=工("力5"("加=L，(s)4<($)
