文科导数经典习题.docx

1 .设为实数，函数F(X)=A：3-工2-工+。.求/(X)的极值；解：令/'*)=3/-2工-1=O得：N=1,W=L又丁当XW卜8，一g)时，/'("As当x(-g,i)时，f,(x)<o-t当w(i,+8)时，f'(x)>.X=-；与£=1分别为F*)的极大值与极小值点.:/(%)假火*1=/(-§)=+；f(x)悔小值=Q_12 .函数/(6=丁+加+反+C,当X=T时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及也C的值.解：,(x)=3x2+2t÷Z7o据题意，一1,3是方程3+20r+6=°的两个根，由韦达定理得-1+3=-3"lx3=.=,b=-9.XX)=A3-3x2-9x÷c7(-1)=7j.c=2极小值/O)=?'-3x3?-9x3+2=-25.极小值为一25,«=-3,=-9C=2。4 ./(x)是二次函数,不等式/(x)VO的解集是(0,5),且/(X)在区间-1,4上的最大值是12。求了(幻的解析式；解：f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5),/.可设/(x)=Or(X-5)(。>0)./(x)在区间上的最大值是/(-1)=6由，得6。=12,.=2,./(x)=2x(x-5)=2x2-10x(xR).5 .(2009江西卷文)设函数/(x)=t一f+6-q(1)对于任意实数x,f(x)加恒成立，求团的最大值；(2)假设方程/(幻=O有且仅有一个实根，求。的取值范围.【解析】：/(X)=3x2-9x+6=3(x-l)(x-2),因为x(-co,+oo)J(x)相，即32-9x+(6-7)0恒成立，所以A=81-12(6一相)0,得加-上，即机的最大值为一之44(2)因为当X<l时，f(x)>O;当IVXV2时，f()<O;当x>2时，/(X)>O;所以当x=l时,/(X)取极大值/(l)=-a;当X=2时J(X)取极小值/=2-；故当/(2)>0或/(1)<O时，方程/(x)=O仅有一个实根.解得<2或>.6 .设函数“X)=3+62+6(XR),g(x)=/(x)-ff(x)是奇函数。(1)求6、C的值。(2)求g*)的单调区间与极值。解：,J()=J+加+%.r()=32+次+J从而g(x)=fM-f,M=xi+bx1+ex-(3x2+2bx+c)=3+(3-3)2+(c-2/7)x-c是一个奇函数，所以g(0)=°得C=°,由奇函数定义得6=3；由(I)知g3=A3-6x,从而g'(x)=3>-6,由此可知，(-8,一点)和(、万,+)是函数g*)是单调递增区间：(一¢,点)是函数g*)是单调递减区间；g(x)在x=应时，取得极大值，极大值为40,g*)在X=J时，取得极小值，极小值为T戊。7 .(2009天津卷文)设函数f(x)=-g3+2+(利2-),(R,)其中m0(I)当m=1时，曲线y=(x)在点(I,f(1)处的切线斜率(II)求函数的单调区间与极值；【解析】：当相=1时，f(x)=X3+X2,fz()=%2+2x,V1(1)=1所以曲线y=f()在点(L/(D)处的切线斜率为1.(2)解：f'(x)=-x2+2x+n2-1,令f'()=O,得到X=I-X=1+机因为m>0,所以1+m>-mx(-,1-tn)-m(-tnSjt-m+m(1+ah,+)/W+o-o+/()极小值/极大值/(x)在(-Ooj2)和(1+机,+OO)内减函数，在(1-"2,1+"2)内增函数。2I函数/(x)在X=1+m处取得极大值/(1+加)，且f(+m)=-nv,+m2-21函数7(x)在x=l一2处取得极小值f(l-m)，且/(1-w)=-+相2-8.12009浙江文)函数f(x)=x3+(1-。)/-(+2)x+"(,7?).(I)假设函数/(X)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求。力的值；(II)假设函数/(X)在区间(-1,1)上不单般，求。的取值范围.【解析1(I)由题意得尸(X)=3/+2(1-/工一4(+2)解得 b = 0, ” = 一3 或。=1/(0)=0f,(0)=-a(a+2)=-3(II)函数/(x)在区间(Tj)不单调，等价于导函数/'(X)在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数/'(X)在(一口)上存在零点，根据零点存在定理，有,(-l),(l)<0,即：3+2(1)a(a+2)3-2(1-«)-a(a+2)<0整理得：(。+5)(。+1)(41)2<0,解得一5vv-l