专题1.2勾股定理重难点题型（解析版）.docx

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1、专题1.2勾股定理重难点题型题型1.勾股树与面积问题再探究解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.1. （2022成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1,其面积标记为S,以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,，按照此规【答案】A【分析】根据题意求出面枳标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2,同理求出S3,根据规律解答.【详解】解：Y正方形ABCD的边长为1,面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长的平方为?，则S,=!=，222,面积标记为S3的等腰直角三角形的直

2、角边长的平方为lx，=,222）则S3=（g）2=；$，则力的值为：故选：A.【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等.能通过计算找出一般性规律是解题关键.2. （2022重庆南岸八年级期末）如图，在AABC中，NACB=90。，AC：C=4:3,这个直角三角形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图是1次操作后的图形，图是2次操作后的图形.如果图中的直角三角形的周长为12,那么次操作后的图形中所有正方形的面积和为.C图图图【答案】25+50【分析】根据题意分别计算出图、图和图的

3、面积，得出规律即可求解.【详解】解：VZACB=90o,AC：BC=4：3,，设AC=4x,则BC=3x根据勾股定理得，AB=yAC2+BC2=(4x)2+(3x)2=5xV3x+4x+5x=12：x=lAB=5,BC=3tAC=4.图中正方形面积和为：32+42+52=25+25=225=50图中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+52=25+25+25=25+50图中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+32+4?+5?=25+25+25+25=225+50次操作后的图形中所有正方形的面积和为25

4、+50故答案为：25+50【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.3. （2022.福建福州.八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、。的边长分别为3,4,1,2.则最大的正方形E的面积是一.B【分析】根据勾股定理可得：正方形户的面积=正方形A的面积+正方形3的向枳，正方形G的面枳=正方形C的面积+正方形Z）的面积，从而得到正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积，即可求解.【详解】解:如图,由勾股定理得，正方形尸的面积=正方形

5、A的面积+正方形3的面积=32+42=25,同理，止方形G的面积=正方形C的面积+止方形O的面积=2?+F=5，正方形E的面积=正方形产的面积+正方形G的面积=30.故答案为：30【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：百.角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.4. （2022四川成都模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2.则图2中阴影部分面积等于（）图1图2A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与

6、直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积【答案】D【分析】根据勾股定理得到，=储+从，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可.【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为m较长直角边为4斜边为c,由勾股定理可得,c2=a2+b2,阴影部分面积=M-h2-a(c-h)=a2-a(c-h)=a(a+h-c),较小两个正方形重叠部分的面积=3+b-c),，阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积.故选：D.【点睛】本题主要考杳了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题.5. (2022河南洛阳八年级期末)如图，在RtZXABC中，以AC为直角边向外作心ZXACD,分

7、别以A&BCtCDtOA为直径向外作半圆，面积分别记为S/,52,S3,S4,已知S=3,S2=I,S3=7,则S,为()A.2B.3C.5-3D.6-23【答案】B【分析】以48,BC,CD,DA为直径向外作半圆的面积分别为S/,S2,Ss,S4t再分别用含A8、BC、CD、AD的式子表示S/,S2,S3,S4,AB2+BC2=AC2=CD2-AD2t可得S+S2=S3-S，从而可得答案.【详解】解：,以A&BC,CD,DA为宜径向外作半圆的面积分别为S/,S2,S3,S，SEP料1d=%血：S1+S2=-pAB2+-pBC2=-p(AB1+5C2),888S3-S4=pCD2-AD2=(C

8、D2-AD2),oo8)VNABC=NCAO=90。,：.AB2+BC2=AC2=CD2-AD2ip(AB2+BC2)=；P(CD2-AD2j,5+52=S5-S,V5/=3,S2=I,Si=It3l=7-S,.S4=3,故选：B.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键.6. （2022上饶市广信区第七中学初二期中）已知如图，以肋AABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=IO,则图中阴影部分的面积为.【答案】50【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边

9、的等腰直角三角形的面积.则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍.【解析】解：在RtZXABC中,AB2=AC2+BC2,AB=5,Sbi=Sahc+Sbfc+Saeb=-+-X-=-（AC2+BC2+AB2）=-AB2=-102=502222224,22故答案为：50.【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系.题型2.赵爽弦图相关问题解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.1. （2021北京八年级期末）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大

10、小不同的正方形.若正方形ABC。的面积为10,AH=3f则正方形EFG”的面积为.【答案】4【分析】根据正方形的面积，可得AD2=IO,再根据勾股定理求出的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解.【详解】解：Y正方形A8CO的面积为10,AH=3tAAD2=IO,在用AC）中,DH=yALr-AH1=10-9=1,-s,adh=-A7D7=-3l=-,3Y四个直角三角形全等，正方形EFG”的面积=IO-4x=4,故答案是：4.【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键.2. （2022河南南阳八年级期末）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一

11、个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为I,大正方形的面积为13,则直角三角形较短的宜角边。与较长的直角边方的比？的值是（）b2 - 3B. -2 C1 - 6D.【分析】根据勾股定理可以求得(，+/)等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2他的值，然后根据(。+勿2=/+2时+即可求得(a+b)的值；根据小正方形的面积为S-4=1即可求得b-a=,进而联立方程组求得。与力的值，则可求出答案.【详解】解：Y大正方形的面积是13,设边长为c,*c2=13*a2+h2=C2=13直角三角形的面积是=3,又V直角三角形的面积是;而=3,：ab=6,：.(a+b)2=a2+b

12、2+2abc2+2ab=3+26=25,.*.a+b=5.小正方形的面积为S-)2=1,又,.*.h-a-,联立可得b-a = T。_2一=一.b3故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的知识，解题关键是熟记完全平方公式，还要注意图形的面积和a、b之间的关系.3. (2022辽宁阜新八年级期末)如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若4C=12,BC=It将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（A.148B.100C.196D.144【答案】A【分析】通过勾股定理可求出“数学

13、风车的斜边长，然后求出风车外围的周长即可.【详解】解：如图，设将CA延长到点0，连接80,.BD=yBC2+CD?=25,.AD+BD=12+25=37,这个风车的外围周长是37x4=148,故选：A.【点睹】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.4. （2022杭州市建兰中学初三月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形4BCZ正方形EFGH,正方形MNKr的面积分别为S,S2,S3.若S1+S2+S3=12,则下列关于与、S2、S3的说法正确的是（）A.Si=2B.

14、S2=3C.S3=6D.S+S3=8【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCZ),EFGH,MNKT是正方形,得出CG=NG，C/=QG=N/，再根据三个正方形面积公式列式相加：S1+S2+53=12,求出G尸的值，从而可以计算结论即可.【解析】解：八个直角三角形全等，四边形A8CQ,EFGH,MNKT是正方形,CG=NG,CF=DG=NF，：.Sl=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CGDG=GF+2CGDG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NGNF,.SS2S3=GF2+2CGDG+GF2+NG2+NF2-2NGNF=3GF2=2,GF2=4,S2=4,.S1+S2+S3=12,/.S1+S3=8,故选：D.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据己知得出3G/2=12是解决问题的关键.5. (2022河北邢台八年级期末)如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图“，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5,小正方形的边长为1.(1)如图1,若用小。表示直角三角形的两条直角边(a。)，则。力=(2)如图2,若拼成的大正方形为正方形A8CQ,中间的小正