专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题(原卷版).docx
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1、专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题考点预测(1) (x,y,zj,b=(x2,y2,z2),则rI(1)a+h=(xi+X2,yl+y2l+Z2).X*(2) a-b=&-赴,M-必,-z2)(3) /a=(/x1,/JpZzl).r1(4) ac!bxix2+j,y2+z1z2.(5)若功为非零向量,则之bfab-0?x1x2J1y2+zlz2=0.(6)若bI0,则5/?alb?XJ/x2,jl=Iy2tz,=Iz2.(7) a=yfa2aJAf+N;+z;.(8) COSJ=,X,产_:向WM+y;+z:?JR+z;(9) A(xpypz1),B=(x2,y2,z2
2、),则ab=:B=J(-芭一+(力-犷+一/.2.在空间中,取定点O作为基点,那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示.向量OR称为iM.niuuu点R的位置向量.3 .空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点,向量aUUUirr表示直线/的方向向量,则对于直线/上的任意一点R,有AR=S,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置,还可以具体表示出直线/上的任意一点.4 .空间中平面4的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O,它们的方向向r1uuur1量分别为,bR为平面上任意一点,存在有序实数对(x,y),使得OR=m+
3、yb,这样点O与向量;,力就确定了平面的位置.5 .直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量:IlUUIlIal若A、B是直线/上的任意两点,则A8为直线/的一个方向向量;与AB平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法啊量:若向罩:;?所在直线垂直于平面。,则称这个向量垂直于平面。,记作7人。,如果,人。,那么向量叫做平面的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法):建立适当的坐标系.设平面a的法向量为7=(x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标=(6fj,2,a3),h=SI也也).、rr根据法向量定义建立方程组上?;0.nlb0解方程组,取其中一组解,即得平面。的法向量.(如
4、图)6.用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线44的方向向量分别是:、力,则要证明44,只需证明;,即:二2方/?R).即:两直线平行或重合=两直线的方向向量共线。线面平行(用一)设直线/的方向向量是,平面的法向量是:,则要证明/4,只需证明打1即拓0.即:直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行1111若平面的法向量为“,平面力的法向量为V,要证aZ?,只需证y,即证=/y.即:两平面平行或重合两平面的法向量共线。7 .用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设
5、直线/的方向向量分别是:、1,则要证明4人4,只需证明力,即:?力0.即:两直线垂直O两直线的方向向量垂直。线面垂直(法一)设直线/的方向向量是),平面的法向量是;,则要证明只需证明1111,BPa=Zw.(法二)设直线/的方向向量是0,平面。内的两个相交向量分别为:、;,若、ITIalmOrllIrr,则.alnO即:直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为i平面b的法向量为;要证1八人只需证;,即证力?;0.即:两平面垂直=两平面的法向量垂直。例1.(2021.山东.高二阶段练习)如图,已知四棱锥尸-A
6、88,底面是矩形,且尸A_L平面ABCD,E、尸分别是A3、PC的中点.(用向量法解决下列问题)(1)求证:殍1,APAf)共面.(2)求证:EFLAB例2.(2021全国高二课时练习)如图,已知在正方体ABCD-A8G5中,M,N,P分别是AG,BD,8C的中点,利用向量法证明:(1) MN平面CCiDiD;(2)平面MNP平面CGz)ID.例3.(2021北京通州.高二期中)在空间直角坐标系。冲Z中,已知向量45=(1,0,0),AC=(0,2,0),A。=(0,0,3).(1)求向量AB在向量CB上的投影向量;(2)求平面BCO的法向量;(3)求点A到平面BCo的距离.过关测试一、单选题
7、1. (2021四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)空间直角坐标系中,已知A(Tj3),则点A关于XoZ平面的对称点的坐标为()A.(lJ,-3)B.(-1,-1,-3)C.(-1,1,-3)D.(-1,-1,3)2. (2021全国高二课时练习)已知.A5C的三个顶点分别为A(IJO),B(0J,2),C(2,lj),则BC边上中线的长度为()3A.!B.1C.-D.2223. (2021黑龙江哈九中高二期中)设x,ywR,向量a=(x,l,l),6=(l,yl),c=(2,y2),且力入bc贝山+卜()A.22B.C.3D.44. (2021全国高二课时练习)若:=(x,2y-1,-是平面
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