重难点05一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）（解析版）.docx

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1、重难点05一类与斜率和、差、商、积问题的探究【题型归纳目录】题型一X斜率和问题题型二：斜率差问题题型三：斜率积问题题型四：斜率商问题【方法技巧与总结】已知P（XO,典）是双曲线二 a1、已知P（XoJo）是椭版则直线/斜率为定值5.1上的定点，直线/（不过尸点）与双曲线交于4,B两点,且kPA+kPB直线/斜率为定值-3、已知P（Xojo）是抛物线V=2p上的定点，直线/（不过2点）与抛物线交于M,N两点，若kpA+kpB=Q,则直线/斜率为定值-3.V2v24、PaO,打）为椭圆:r+4=l（00）上一定点，过点尸作斜率为勺，乂的两条直线分别与椭圆b交于,N两点.（1）若占+A,=l（20）

2、,则直线MN过定点（%生,-No-也争）；a（2）若kk2=MA.工马,则直线MN过定点（“,+”：x。,-，+”：凡）.aa-ba-b5、设P（X（PMl）是宜角坐标平面内不同于原点的一定点，过P作两条直线48,CD交椭圆22:5+彳=1（0,60）于/、B、C、D,直线48,CO的斜率分别为k2,弦AB,CO的中点记ab（1）若+=2H0），则直线MN过定点（/一比,一（2）若占=W/4）,则直线AZN过定点（J广2，2）aa-h2a-b6、过抛物线/=2px（p0）上任一点P（XOJO）引两条弦21,PB,直线尸彳，PB斜率存在，分别记为k,k?,即攵+左2=2（%工0），则直线48经过

3、定点（XOF，-A【典型例题】题型一：斜率和问题例1.(2023重庆南岸高二重庆市第十一中学校校考期中)己知双曲线E:x2-g.=i30),点尸(-2,-3)在E上.(1)求E的方程；(2)过点Q(0,7)的直线/交E于不同的两点48(均异于点P),求直线RLP8的斜率之和.【解析】将点P(-2,-3)代入双曲线方程可得，-肆=1，b解得人=3,所以，E的方程为V-?=1.(2)由己知易得直线/的斜率一定存在，设斜率为攵，则/的方程为N=H-LX2-Z-=I联立直线与双曲线的方程3,y=kx-整理可得(3-公卜2+2H4=0,3-k20=(2)2+16(3-2)=-12(2-4)O解得-240

4、)上有两点48,且直线48过点(8,0),N4O8=9(T.(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线上有一点。，纵坐标为4,抛物线上另有两点M,N,且直线OM与ON的斜率满足+v=QqQMN重心的横坐标为4,求直线MN的方程.【解析】(1)由题意知直线AB的斜率不可能为0,设4(西,乂),6(吃J2)，直线48的方程为X=即+8,由4403=90*得,OAOB=O,即=电+弘力=，22即在?+M=,即必8+4/=0,2P2P将X=Wy+8代入V=2p,得丁=2p(my+8),贝J-2pzwy-i6p=0,则必2=-16p,贝J4T6P=O,由p0,解得p=4,故所求抛物线的标准方程为/=8x.

5、(2)由抛物线方程可得。点坐标为(2,4),设“优办)，(孙乂)，.y3-4y4-4-4y4-488_ko.f+knf.=-+=JFJ=+=O则,x325一2(乃)-O(ZIy1%+4乂+4,88则8+%+8=0,且fl则(%)2_(以)2=8卜3_4)，乂=x4故七N=2izA=-=-1.又2+,+/=4,3-x4必+居3则再+匕=10，又+居二-8,可得直线MN的中点坐标为(5,-4),故由点斜式得直线MN的方程为y+4=-(x-5),即x+y-l=O.例3.(2023四川巴中高三统考开学考试)已知椭圆C.+g=l(60)的左、右顶点分别为4,4,点M(Is)在椭圆C上，且丽碗=-：求椭圆

6、C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为尸，过点尸斜率不为。的直线/交椭圆C于尸,。两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为心内，当人+2=0时，求的面积.【解析】(1)由题意知4(0,0),4(d0),又硝学，则丽=,4_b丹丽=()(一l)(1)+(=一(，解得=2(负值舍去)，由(,?在椭圆C上及=2得；+亲=1,解得=3,椭圆C的方程为工+匕=1;43(2)由(1)知，右焦点为尸(1,0),据题意设直线/的方程为X=my+l(m),P(my1+l,y),(my2+1,必)，_3_3则/=M=2*-3*二乃一5二2乃一3,加必2m必，2my22my2于是由K+&=。得誓2+U=0,化简得4%必=

7、3(必+/)(*)由A消去X整理得(3/+4)/+6世-9=0,3x+4-12=07=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+l)0,由根与系数的关系得：%+为=-丁J，必必二-二F，3w+43广+4代入(*)式得：18/w36.,.,jaC-C，,=J，,，解得m=2,3w2+43/+4直线，的方程为x-2y-l=0,方法一：=144（22+1）=720,erl+y2=一，必为=-工416由求根公式与弦长公式得：|尸=i7F凹_必|=/俨=Y,121F-设点M到直线，的距离为d,则d_2_35,cIID川/1153595w=2p6f=2xTx-5-8方法二：由题意可知s2pq=S*MP

8、F+S库VQF=5Ml（/+%）=a（k/+卜。1）x-2y-l=0代入3/+4/-12=0消去卜得4工2+2%-11=0，=22-44（-l1）=180O,xp+x0=-xpxq=-60）的离心率为也，直线/：*+叩-1=0a-h22恒过椭圆上的右焦点A(1)求椭圆E的方程；(2)设直线/与椭圆E交于48两点，在X轴上是否存在定点尸，使得当机变化时，总有直线P4的斜率和直线总的斜率即8满足即,+A.=。？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(I)设椭圆E的焦距为2c,则椭圆E的右焦点为产(c,0).因为直线/恒过定点(1,0),所以。=1,又因为=，a2=b2+c2,a2所

9、以1=2,2=1,所以椭圆上的方程为二十/=1；2-V2=1(2)将椭圆与直线联立方程组I+二,X+加-1=0消去X,可得(2+/)/一2叩一1二0,设乂),5(x2,%),2m必+歹2=由韦达定理得，；”，2+m设点尸&0)满足题意，则%+3二汽+且rr-,所以x1-/x2-tl-wy1-tl-ny2-/(l-ny1-Z)-my2-I)(IT)(M+必)-2利月二0，所以(l-f)3+2m丁二=0,2+M2+m所以2m(1t)+2?=2n(2)=0,因为当冽变化时，总有直线PA的斜率和直线PB的斜率原8满足3+kp8=0,所以当f=2时，上式恒成立，所以在X轴上存在定点P(2,0)满足题设条

10、件.变式2.(2023陕西延安高二统考期末)已知抛物线UX2=2朗(p0)的焦点为E准线/与y轴的交点为M,动点、A(异于原点O)在抛物线C上，当与y轴垂直时，F=2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线力产与抛物线C交于另一点6,证明：直线4M的斜率与直线3的斜率互为相反数.【解析】抛物线UX2=28(p0)的焦点为尸(0,3当/尸与y轴垂直时，易得片(土P，5),即MH=P=2,：抛物线。的方程为2=4y.(2)证明：由(1)知，尸(0,1),M(O-I),设点彳再号,8(工2，子，设直线48)=h+l,代入抛物线C的方程得，x2-4kx-4=0,则玉+彳2=必，XlX2=Y,.+k.4:

11、+=了(4+酒)kAM+KBM-十一/Rx1X24x1x2变式3.(2023全国高三专题练习)设抛物线氏V=2p(p0)的焦点为凡过尸且斜率为1的直线，与E交于4,8两点，且46=8.(1)求抛物线E的方程；(2)设尸(1,加)为E上一点，E在P处的切线与X轴交于。，过。的直线与E交于M,N两点，直线PM和PN的斜率分别为怎A,和AAw.求证：原刊+&W为定值.【解析】由题意，尸径,0)直线/的方程为八工-4，代入=2px,得G3px+E=0于是玉+“3p,2)24工焦点弦MBI=XJ+/+P=3p+p=4p=8,解得p=2.故抛物线E的方程为产=4x.(2)因P(L?)在E上，?=2.设E在

12、尸处的切线方程为y-2=f(x-l),代入=4,得ty2-4y+8-4t=0.由=4?-4/(8-4。=16(-lf=0,解得I=I,尸处的切线方程为y=x+l,从而得O(TO).易知直线MN的斜率存在，设其方程为y=Mx+l),设Ma,必)，N(X2,%).将y=%(x+l)代入=4,得2+(2F-4)+=o于是石+9=卷-2,林2=1，且必=入$+1)，y2=k(x2+).,必一2,为一2_/乃+/必一(乂+%)-23+工)+4Pp7ETT一(-v1-)(-)88x1x2 -(Xl +x2)+1441+2TT+1”q2.2A-2(为+0)+4-2(2p+4+4-2%8-汽故kpM+kpN为

13、定值2.变式4.(2023四川泸州高二统考期末)在平面直角坐标系XOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,记C的轨迹为曲线E.(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知力。,2)及曲线E上的两点8和。，直线48,40的斜率分别为人，的，且4+&=1,求证：直线5。经过定点.【解析】(1)设圆心c(,y),半径为，因为圆心为C的动圆过点(2,0),所以(x-2)2+V=r2,因为圆心为C的动圆在N轴上截得的弦长为4,所以V+2?=/,所以(x2)2+/=/+4,gj=4,所以曲线E是抛物线.(2)设直线8。：x=ty+n,联立消去K并整理得炉-郁-4=0,=162+1620,即“+心。，设8(x,乂)，D(x2,y2)f则乂+8=4/,yly2=4ft421二=g=_%,=左匚=_因为石T2l-1M+2，X2-I区_必+2，44所以K+-，+=4(必+2+%+2)=4(凹+H)+16=J凹+2y