第三章复数及其应用.docx

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1、第三章复数机器应用在电学及生产实际中，认同通常将正弦交流电的相关问题转化为复数的相关内容进行分析与计算。本章主要介绍发数的概念、附属的运算及复数在日常生活中的应用。3.1 复数的概念与几何表示3.1.1 复数的概念实例我们知道，一元二次方程炉二2没有有理数解。实际上，在接触无理数之前，我们不知道有没有一个数，它的平方等于2。为解决这一问题，我们引入了无理数的概念，把数的概念扩充到实数。而且，实数的四则运算保持了原来有理数四则运算的运算律(包括交换律、结合律和分配律)。现在，我们来考虑一元二次方程d=-lo我们知道，即使在实数范围内，方程V=-1也没有解。那么我们能否将数的概念再进行扩充，使得在

2、新的数集中，这一问题可以得到圆满的解决呢？想一想你觉得怎样才可以算是“圆满的解决”呢？一新知识历史上，数学家为了让一元二次方程V=T有解，引入了一个新的数i,称为虚数单位。并且规定：(1) i2=-l;(2)实数可以与i进行四则运算，运算时保持原有的加法与乘法的运算律仍然成立。这样就解决了前面提出的问题，即i是一元二次方程V=T的解，而且根据前面的规定，i与实数的运算满足原来的运算律，则(-i)2=(-li)2=(-l)2i2=l(-l)=-l说明T也是一元二次方程f=7的解.形如+加(4,bR)的数叫做复数，通常用小写英文字母z,w,表示。复数+历中，。称为复数的实部，力称为复数的虚部.全体

3、复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示，即C=+同,bwR特别地，当b=0时，复数+*=是实数，当a=0且人工0时，称复数a+i=Z?i为纯虚数而一般当方0时，称复数4+i为虚数，知识巩固例1指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些又是纯虚数.解显然Sinl是实数；i?=T是实数.-i=O+(-l)i,对应于复数。+例当=O且b/0时的情况，因此它是虚数，也是纯虚数；-i，对应于复数+/当b0时的情况，因此是虚数，但由于0=0,它不是纯22虚数；所以，这四个数中Sin工和i?是实数；M和匕！是虚数；M是纯虚数.72例2指出复数2和J_一如的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数.22解将复数

4、改写为。+研4力R)的形式，苫g=等+于是的实部为立，虚部为-,，它是虚数。22的实部为5/3,虚部为0,它是实数.22新知识为了后面讨论复数的运算,这里先要讲清楚两个复数相等的概念。我们称两个复数相等,是指它们的实部与虚部分别相等.即复数。+例与c+M相等(,b,c,dR),当且仅当a=c且b=d.根据复数相等的定义，每一个复数Z按照+bi(0gR)形式的表示方式就唯一确定了.糠一想为什么每一个复数Z按照4+例(0,bR)形式的表示方式是唯一确定的？两个更数相等的概念已经明确，但是复数能否比大小呢？一般地，两个复数之间不能比较大小,除非两者都是实数。想一若复数”+历=0,则和要满足什么条件？

5、为什么？知识巩固例3已知(2z-l)+3Ai=+(+9i,其中。,力R,求和的值.解由两个更数相等的定义可得：2a-=a23b=a+b（6/-I）2=O即1b=-a2于是，得到=l,b=1.2练习3.1.11.指出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数./，RC后13i.2.D-OZ3-272、一iacosF1sin一2332 .已知（2a-l）+2fei=（b-2）+（34+L）i,其中,bR,求0和匕的值.3 .试确定实数m、n,使（3机+）+2病i=0成立.3.1.2里数的几何表示问题我们知道，实数可以和数轴上的点一一对应起来，有时我们借助数轴来研究实数，好处是这样更加直观。那么

6、为了研究复数，我们能否借设法助几何的直观呢？新知识由上一节的知识我们知道，每一个复数都可以表示为+Ai（a,bR）的形式，而且表示方法唯一，从而建立了复数+沅与有序实数对（。乃）的一一对应关系。如果把（。涉）看作平面直角坐标系中某个点的坐标，这样就建立了复数+与平面直角坐标系中点（4。）的一一对应关系（图3-1）。这就是说，复数集与直角坐标平面之间可以建立一一对应关系,因此我们可以借助这样的平面来研究复数，在后面我们可以看到这样做的方便之处。有序实数组（。力）bZ(0,A)t发数二abi图3-1我们把建立了平面直角坐标系来表示更数的平面称为复平面,其中X轴称为实轴，它上面的点表示实数；y轴称为

7、虚轴.它上面除原点以外所有的点都表示纯虚数。如果两个复数的实部相等而复数互为相反数，我们称这两个复数互为共枕复数，并记复数Z的共挽复数为5。例如，z=+历（,8R）的共挽复:数就是5=。一方.在复平面内，z=+历（,AR）共拢的复数彳=-加分别用点（,b）和点（。,一）表示，它们是关于实轴对称的(图3-2的h，(“)OQxb匕血.图3-2也一想什么样的复数是自身的共艇复数？知识巩固例4在复平面内分别标出表示下列第数的点：z1=1+2i,z2=-3i,z3=2,z4=1-2i解如图33所示，复数z=l+2i,z2=-3i,23=2和24=1-2在复平面内所对应的点分别为点Z(,2),Z2(0,-

8、3),23(2,0)和24(1,-2).AVW)-OZ1(XO)xZ,(L-2)Z1(QT)图3-3短一想一图中有没有两个点是关于实轴对称的，它们表示的复数之间有什么关系？例5求Z=-l+i,z2=-3i,z3=fZ4=l-复数的共枕复数。解z；=-l-i,z2=3i,弓=乃，=l+2i新知识借助平面直角坐标系,我们己经知道复数集与平面上所有的点的集合之间可以建立一一对应关系，下面进一步考虑更数集与平面上所有向量的集合之间的对应关系。学习过平面向量的坐标，我们知道：平面直角坐标系内每一点Z都可以唯一地对应到以坐标原点。为始点且以Z点为终点的向量，向量的坐标就定义为该点的坐标。而平面上每一个始点

9、在坐标原点的向量OZ也可以确定平面直角坐标系内的一点Z.如图3-4所示，Z(a,A)为平面内一点，它唯一地确定了一个以坐标原点。为始点且以Z点为终点的向量OZo在复平面内，点Z(a,b)表示复数z=+折，因此可以将上述对应看作是复数z=+Zi和向量02的一一对应。这样就得到了复数集与平面上所有向量的集合之间的一一对应关系.以后我们在平面直角坐标系中，可以用向量OZ来表示复数z=+bi.并且,称向量OZ的模为复数z=+比的模,记作忖.根据向量的模定义，有z=z=a2+b2如果复数z=a+力i0,我们把以X轴正半轴为始边，射线OZ为终边的角夕称为z=+比的辐角(如图3-4).按照定义，究数z=+洌

10、的辐角并不唯一，我们把适合条件一；6OZ3表示。例7求下列复数的模以及辐角的主值：(1) z1=2+2i；(2)z2=-3+33i;(3)z3=-5i；解(1)4=2+2i在复平面中对应的点为4(2,2),则IZJ=J2?+2?=224(2,2)位于第一象限，它的辐角满足tan=l因此，argz=(2) Z2=3+3M在复平面中对应的点为Z2(-3,36),则=3)2+(36=6Zz(-3,3G)位于第二象限，它的辐角满足tan。=当=-6因此，argz2=-.(3) 23=一在复平面中对应的点为23(0,5),则El=JO2+(-5)2=5TT23(0,-5)位于上，因此，argz3.练习3

11、.1.21.指出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数.3+i、3i-2应、cos-isin992.在复平面内分别标出表示下列复数及其共枕复数的点：-3+2i,2+i,-3,2i3 .用向量表示下列复数z=g+3i和z2=53i.4 .求下列复数的模以及辐角的主值：(1) z1=1+i；(2)z2=13i；(3)z3=3i；(4)Z4=10课后练习习题A1 .在更平面内分别标出表示下列更数的点：3+2i,2-3i,4i,-22 .求下列复数及其共规复数的辐角的主值：Z2+2i；Z2=i；Z3=-4i；3 .已知4(m-l)+3/Hi=1+(m+2)i,其中WR,求7和的值.习题B1 .

12、指出复数上巴和2-的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数.22 .求下列复数的模以及辐角的主值：z1=-1+i；z2=13i；z3=3；3 .已知(3-2)+2M与0-2)-(3+b)i互为共飘复数,其中,bR,求G和人的值.3.2复数的运算3.2.1 复数的代数形式运算实例回顾向量的加减法，给定两个向量，它们的坐标分别为(。力)和(c,d).根据向量的加法与减法的定义，我们有：(,b)+(c,d)=(+c,b+d)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)在复平面上，复数和向量是一一对应的，我们当然要保证：两个向量的和所表示的复数,就是这两个向量分别表示的夏数的和.想一想我们为什么要保证两个

13、向量的和所表示的复数，就是这两个向量分别表示的复数的和？新知识设Z1=+历(”,bR),Z2=c+M(c,dR)，我们将复数的加法和减法分别规定为:(+bi)+(c+*)=(a+c)+(8+d)i(3.1)(+历)一(c+%)=(-c)+(A-d)i(3.2)这样，两个复数的和的实部就是这两个复数的实部的和，两个复数的和的虚部就是这两个复数的虚部的和。这样的规定和向量的加减法相对应，也使得更数的加法和减法运算可以按照多项式的加法和减法运算进行.而且容易验证，复数的加法满足下面的运算律：对任意的复数4、Z2和Z3,满足：(1)交换律：Z1+z2=Z2+Z1(2)结合律：(Z+Z2)+Z3=4+(

14、Z2+Z3)知识巩固例1计算下列各组复数中Z1与Z2的和与差(1) Z=2+3i,z2=4+i(2)z1=3-2i,Z2=2i解(1)(2+3i)+(4+i)=(2+4)+(3+l)i=6+4i(2+3i)-(4+i)=(2-4)+(3-l)i=-2+2i(2) (3-2i)+(2-i)=(3+2)+(-2-l)i=5-3i(3-2i)-(2-i)=(3-2)+-2-(-l)i=l-i例2已知Z、Z2是复数，求证：z1+z2=z1+Z2.证明设Z=+历(,6R),z2=c+ch(c,dR)于是z1+z2=(+Z)+(c+M)=(a+c)+(A+d)i则z1+z2=(+c)-(+d,)i而Z=-i,z2=c-di则zl+z2=(-/;i)+(c-/i)=(6t+c)-(Z?+J)i