第05讲一次方程（组）及其应用（讲义）.docx

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1、一、考情分析第05讲一次方程（组）及其应用二、知识建构考点一等式的基本性质题型01利用等式的性质判断变形正误题型02利用等式的性质求解考点二一元一次方程题型01判断一元一次方程题型02解一元一次方程题型03一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1巧化分母为1技巧2巧化同分母技巧3巧约分去分母【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1巧用拆分法技巧2巧用对消法技巧3巧通分【类型三】含括号的一元一次方程技巧1利用倒数关系去括号技巧2整体合并去括号技巧3整体合并去分母技巧4由外向内去括号技巧5由内向外去括号题型04错看或错解一元一次方程问题考点三二元一次方程（组）题型0

2、1二元一次方程（组）的概念题型02解二元一次方程组题型03二元一次方程组特殊解法类型一引入参数法类型二特殊消元法方程组中两未知数系类型四换元法类型五同解交换法类型六主元法题型04错看或错解二元一次方程组问题题型05构造二元一次方程组求解题型06解三元一次方程组考点四一次方程（组）的应用题型01利用一元一次方程解决实际问题类型一配套问题类型二工程问题类型三增长率问题类型四销售利润问题类型五比赛积分问题类型六方案选择问题类型七数字问题类型八日历问题类型九几何问题类型十和差倍分问题类型十一行程问题题型02利用二元一次方程解决实际问题类型一配套问题类型二方案选择问题类型三年龄问题类型四几何问题类型五行

3、程问题类型六古代问题类型七图表问题类型八工程问题考点要求新课标要求命题预测等式的基本性质理解等式的基本性质一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都数之差的绝对值相等类型三特殊消元法方程组中两未知数系数之和的绝对值相等一元一次方程能解一元一次方程是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握.二元一次方程（组）掌握消元法，能解二元一次方程组

4、能解简单的三元一次方程组选学一次方程（组）的应用利用一次方程求解实际问题考点一等式的基本性质等式的我念表示相等关系的式子，叫做等式等式的性质1如果a=bR,Jac=bc2)如果a=bJac=bc：如果a=b.见=g(cO)3）如果a=b,*Jb=a（对棘性）4）如果a=b,b=c则IFc（传递性）易混易错性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0,因为0不能作除数或分母.C.若/=g则Q=bD.若一x=6,则=2【答案】C【提示】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质提示得出答案.【详解】解：A、若ac=bc,当c#0,则折6,故

5、此选项错误；B、若彦=力2,则q=a故此选项错误；C、若巴=L则q=b,故此选项正确；CCD、若一（=6,则=-18,故此选项错误；故选：C.【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键.【变式11（2023山西大同校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（）A.若x=y,则X=NB.若QC=be,则=bZZC.若/=4x,则X=4D.若/=g,贝!=b【答案】D【提示】根据等式的性质逐一判断即可.【详解】解：A、当Z=O时，由x=y不能得到三=变形错误，不符合题意；ZZB、当C=O时，由c=be不一定能得到Q=b,变形错误，不符合题意；C、若/=4%,则=4或=0,变形

6、错误，不符合题意；D、由2=之可以得到Q=b,变形正确，符合题意；CC故选D.【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以个不为。的数或式子等式仍然成立.【变式12（2023沧州市二模）如果x=y,那么根据等式的性质下列变形正确的是（）A.x+y=0B.7=C.x-2=y-2D.x+7=y-7Sy【答案】C【提示】利用等式的基本性质逐一判断各选项可得答案.【详解】解：=y,x-y=y-y=0,故人错误；.x=y,Y=故B错误；X=y,二%-2=y2,故C正确；VX=y,

7、.x+7=y+7,故。错误；故选：C.【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键.方法技巧B.利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质2.A.o/nlIn/nnC.ZKD.ZK【答案】B【提示】设的质量为x，的质量为P的质量为皿列出等式，根据等式的性质计算判断即可.【详解】设“”的质量为X,“”的质量为“”的质量为怀根据题意，得2x=4y即=2y,故A正确，不符合题意；.x+m=m+2y,故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；.9.x+2m=2m+2y,故DiE确，不符合题意；故

8、选B.【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键.【变式21（2023河北承德校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（）A.如果+c=b+c,那么=b（,b,C均不为0）B.如果Q=b,那么+c=b+c（a,b,C均不为0）C.如果Q-c=b-c,那么=b（a,b,C均不为0）D.如果Q=b,那么c=bc（o,h,C均不为0）【答案】A【提示】根据等式的性质解答即可.【详解】解：观察图形，是等式Q+c=b+c的两边都减去c（。，b,C均不为0）,利用等式性质1,得到=b,即如果+c=b+c,那么Q=b（,b,C均不为0）.故选：A.【点睛】本题考查了等式的性质，掌握

9、等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键.【变式22（2022山东滨州中考真题）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U,导体的电阻R之间有以下关系：/=9去分母得/R=u,那么其变形的依据是（）A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2【答案】B【提示】根据等式的性质2可得答案.【详解】解：/=去分母得/R=U,其变形的依据是等式的性质2,K故选：B.【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立.【变式23（2023河北沧州校考模拟预测）已知（照一）

10、+x=0,则X的值是（）A.20222021B.202220212021120222021+2022C.20222021D.202220212021202220212022【答案】C【提示】根据等式的性质进行计算即可.【详解】解：将原式两边同时减去（猊-翳）可得：”一能翳），Hn20222021即X=,20212022故选：C.【点睛】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.【变式24（2023衡水市中考模拟）若等式m+Q=几力根据等式的性质变形得到m=,则如b满足的条件是（）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.无法确定【答案】C【提示】根据等式的性质，两边都加上儿然后判

11、断即可得解.【详解】解：11+0=b两边都加上b得，w+b=,等式可变形为?=，a+b=Q,.*.a=b.故选：C.【点睹】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同个不为。数或字母，等式仍成立.考点二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1,这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程标准形式：ax+b=O（X为未知数，a、b是常数且aWO）解一元一次方程的基本步骤：1 .一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.2 .一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为L

12、3 .解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用.4 .对于分母中含有小数的一元一次方程.当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10,化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100,化分母中的小数为整数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】根据一元次方程的定义逐个判断即可【详解】解：不含未知数，故错未知数的最高次数为2,故错含个未知数，次数为1,是等式且两边均为整式，故对左边不是整式，故错不是等式，故错含一个未知数，次数为I,是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一

13、元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键【变式11（2021贵州一模）已知关于X的方程（小-4）x2+（k-2）x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（）A.2B.2C.6D.1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定义确定出的值，进而求出后的值即可.【详解】解：V方程（/一4），+（攵-2&=k+6是关于、的一元一次方程，.仇2-4=0,elc-20解得：k=2,方程为4-2+6,解得：x=l,故选：D.【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键.【变式12）（2023九江市一模）已知（A-I）WCl+3=0是关于

14、X的一元一次方程，则k值为.【答案】-1【分析】由元次方程的定义可直接进行列式求解.【详解】解：Y方程（A-I）M川+2=3是关于X的一元一次方程，.*.k=ltk-10,解得：Zc=-I;故答案为-1【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关犍.【变式13（2023武威市一模）若方程（k+2）c+6=0是关于X的一元一次方程，则c+2023=.【答案】2023【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程.它的一般形式是Qx+b=O（,b是常数且0）,据此求解即可.【详解】解：/+2）”川+6=0是关于一的一元一次方程,.*.k+20k+l=l,解得：k=0.c+2023=2023,故答案为：2023.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.题型02解一元一次方程【例2】（2021广西桂林中考真题）解一