第02讲圆-垂径定理（知识解读题型精讲随堂检测）.docx

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1、第02讲圆垂径定理1.掌握垂径定理及其推论;2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.知识点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧:2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：D过圆心，作垂线，连半径，造Rt,用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【题型1运用垂径定理直接求线段的长度】【

2、典例1】（2023南海区校级模拟）如图，线段。是OO的直径，CD_L4B于点、E,若48长为16,OE长为6,则Oo半径是（）A.5B.6C.8D.10【答案】D【解答】解：连接04,如图，CDl.AB,1.AE=BE=Lb=Lx16=8,22在RtOAE中，OA=JOE2+AE2=62+8=1，即OO半径为10.故选：D.【变式11】（2023春开福区校级月考）如图，。的半径为5,弦4B=8,OC于点C,则。的长为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解答】解：9:OCLAB,AB=Sf1-*AC4AB=4，在RtZ8C中，04=5,AC=4t由勾股定理可得：OC=Voa2-AC2=52-

3、42=3-故选：C.【变式12】（澄城县期末）如图，OO中，OD上弦AB于点、C,交。于点。,08=13,/8=24,则OC的长为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解答】解：.0DL4B,.JC=BC=Lb=工X24=12,22在Rt03C中，OC=JI32-122=5.故选：B.【变式13】（2023宿州模拟）如图，48是0O的直径，弦CQ_L48于点E.若OE=CE=2,则BE的长为（）A.2B.22-2C.1D.2【答案】B【解答】解：如图所示，连接OCYOE=CE=?,弦于点E, 0C=0E2+CE2=V22+22=8=22j 75是。的直径，*0B=0C=22 *-BE=OB-

4、OE=22-故选：B.【题型2垂径定理在格点中的运用】【典例2】（2023平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点48,试在方格中建立平面直角坐标系，使点力的坐标为（0,4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)【答案】C【解答】解：如图所示，连接4G作出48、的垂直平分线，其交点即为圆心.Y点4的坐标为(0,4),该圆弧所在圆的圆心坐标是(-1,1).故选：C.【变式21(2022秋兴义市期中)如图，M(0,3)、N(0,-9),半径为5的OZ经过M、N,则A点坐标为()A.(-5,-6)B.(-4,-5)C.(-6,-4)D.(-4,

5、-6)【答案】D【解答】解：过力作于8,连接过4,：.MB=NB,Y半径为5的O/与y轴相交于M(0,3)、N(0,-9),；.MN=93=6,AM=5,：.BM=BN=3,08=3+3=6,由勾股定理得：J=52-32=4,点4的坐标为(-4,-6),故选：D.【变式22】(2022秋西城区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过4(2,2),B(4,0),O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的()A.点。B.点、EC.点尸D.点、G【答案】B【解答】解：如图，连接。儿根据网格看作出线段OL/5的中垂线，两条中垂线相交于点点E即为圆心.故选：B.【变式23】(2022秋南开区校级期

6、末)如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点4B,C,已知4点的坐标为（-3,5）,B点、的坐标为（1,5）,。点的坐标为（4,2）,则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1,0）.【答案】（L0）.【解答】解：根据不共线三点确定一个圆，如图，AB,SC的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1,0）.故答案为：（-1,0）.【题型3垂径定理与方程的综合应用】【典例3】（2023寻乌县一模）如图，。的半径。_1弦48于点G连接力O并延长交。于点E,连接所.若48=4,CD=I,则欧的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解答】解：由题意可知，。垂直平分48,4

7、E是。的直径，,CO是相的中位线，：.EB=IOC.在RtACO中，设CM=X,则OC=X-1,A2=C2+AC2f./=（-l）2+22,解得：Xx2即OA=y,0C,：.EB=2OC=3,故选：B.【变式31】（2021秋瑶海区期末）如图，在OO中，OE上弦于点E,EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F,若AB=FE=8,则。的半径为（）A.5B.6C.4D.25【答案】4【解答】解：连接04如图所示：设0。半径为小则由题意可知：OA=OFfOE=EF-OE=S-r,又E上弦4B于点、E,JE=1ab=18=4,在RtOE中，AO2=OE2-AE1f即，产=（8-r）2+42,解得：r=5,

8、，0。的半径长为5.故选：A.【变式32】（2022秋宜春期末）已知：如图，。的直径4C与弦8。（不是直径）交于点E,若EC=I,DE=EB=2,求43的长.【答案】45的长【解答】解：连接。8,OD,则：OA=OB=Oe=OD=AC.YDE=EB=L即E为8。中点，ZC垂直平分80,XVEC=I,：.OE=OC-CE=OB-1,由勾股定理得：OE2+EB2=OB2,即：（OB1）2+22=082,解得：OB=,W,JAE=AC-EC=IOA-1=4,，AB=AE2+EB2=25即：ZB的长小.【题型4同心圆与垂井定理综合】【典例4】（2022秋梁山县期末）如图，在以点。为圆心的两个同心圆中，

9、大圆的弦48交小圆于C、。两点.（1）求证：AC=BD（2）连接。4OCt若OZ=6,OC=4f/OCD=60,求4C的长.【答案】（1）证明见解析；（2）26-2.【解答】（1）证明：过。作于，如图1所示：YOHLCD,：CH=DH,AH=BH,：.AH-CH=BH-DH,：.AC=BD(2)解：过。作。LCQ于“，连接OQ,如图2所示；则CH=DH=D,2VOC=OD,NoCD=60,0C。是等边三角形，：.CD=OC=A,：CH=2,*0h=VoC2-CH2=42-22=23AH=Voa2-OH2=62-(23)2=2V；.AC=AHCH=2遥-2.【变式41】(2022秋嘉兴期中)已知

10、在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦力8交小圆于点G。(如图).(1)求证：AC=BD(2)若大圆的半径R=I0,小圆的半径尸=8,且圆心O到直线的距离为6,求4C的长.【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过。作OEL45于点E,则CE=OE,AE=BE,BE-DE=AE-CE,即AC=BD;(2)解：由(1)可知，OEJ_48且OEJ_8,连接OGOA,/.OE=6,c=VoC2-OE2=V82-62=2V7，=VA2-OE2=V102-62=8,：AC=AE-CE=8-2我.【变式42】(2022秋浦江县校级月考)如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦48交小圆于C、。两点，若

11、48=10cw,CD=6cm.(1)求IC的长；(2)若大圆半径为13cm,求小圆的半径.【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)作OEJ垂足为E,由垂径定理知，点E是Co的中点，也是力B的中点ae=1ab=s,CE=LCO=322：.AC=AE-CE=5-3=2cw;(2)连接040C,在RtZViOE中，AE=ScnuOA=3cm,*OE=JOA2-AE2=V132-52=12cm-在RtZxoce中，：CE=3cm,OE=I2cm,=7E2+CE2=V122+32=3V17(Cm).【题型5垂径定理的实际应用】【典例5】(2022秋赣县区期末)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆

12、心的圆的一部分.如果AZ是。中弦CO的中点，EW经过圆心。交。于点E,并且CZ)=4,EM=6,求OO的半径.【答案】见试题解答内容【解答】解：连接。C,.M是。弦。的中点，根据垂径定理：EMVCD,又Co=4则有：cm=Icd=2,2设圆的半径是X米，在RtZXCOM中，有OC2=C2+OM2,即：x2=22+(6-)2,解得：=l,3所以圆的半径长是辿.3【变式51】(2022秋信都区校级期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且。被水面截得的弦48长

13、为4米，。半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点。到弦48所在直线的距离是（）A.1米B.（33）米C.3米D.（3/）米【答案】D【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为第的中点，连接OC交AB于D,则OCJAD=BD=/aB=2，在RtZXCMO中，04=3,AD=!.0D=A02-AD2=5j.*CD=OC-OD=35,即点C到弦AB所在直线的距离是（3-5）米，故选：D.【变式52】（2023武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，M是。中弦Cf）的中点，EW经过圆心。交。于点E.若。=6,EM=9,则。的半径为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B

14、【解答】解：Y是OO弦Co的中点，：.ENfVCD,VCD=6,cm=Icd=3,2设OC是X米，则OM=9-t在RtZXCOM中，有oc2=2+ow2,即：X2=32+（9-）2,解得：x=5,AOC=5.故选：B【变式53】（2023桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）【答案】4【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点0,过点。作OCBE于点D, 点0为线段48的中点，NZC8=90, 48为圆O的直径， 宽为1.5米，高为2米，AB=$2+22=2.5（米），；圆的半径=LB=L25（米），2*：ODVBE,，点D为BE的中点、,又Y点O为线段的中点，od=1bc=（米），2则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25（米）；故选：A.【典例6】（2023迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度48=