立体几何中的截面问题.docx
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1、立体几何中的截面问题一、知识点梳理一、鼓面问鹿的理论依据(1)确定平面的条件不在同一平面的三点确定一个平面;两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行二、鼓面问题的基本思路1.定义相关要素用一个平面去截几何体,此平面与几何体的交集,叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱(或
2、面)的交集(交点)叫做实截点.此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2 .作截面的基本逻辑:找截点T连截线T围截面3 .作截面的具体步图(1)找截点:方式1:延长截小面上的一条直线,与几何体的棱、面(或其延长部分)相交,交点即截点方式2:过一截点作另外两截点连线的平行线,交几何体的棱于截点(2)连截线:连接同一平面内的两个截点,成截线(3)围截面:将各截线首尾相连,围成截面三、作截面的几种方法(1)直接法:有两点在几何体的同一个面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面实际就是找交线的过程。(2)延长线法:同一个平面有两个点,可以连线并延
3、长至与其他平面相交找到交点。(3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,拖直线所在的面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。模型演练:如下图E、F是几等分点,不影响作图。可以先默认为中点,等完全理解了,再改成任意等分点方法:两点成线相交法或者平行法特征:1.三点中,有两点连线在表面上.本题如下图是EF(这类型的关键);2.“第三点”是在外棱上,如C,注意:此时合格Cl点特殊,在于它是几何体顶点,实际上无论它在何处,只要在棱上就可以.方法一:相交法,做法如下图.方法二:平行线法,做法如下图.二、题型精讲精练【典例1用一个平面去截正方体,所得截面不可能是()A.直角三
4、角形B.直角梯形C.正五边形D.正六边形【答案】ABC【分析】根据正方体的几何特征,我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形,然后逐一与四个答案中的图形进行比照,即可判断选项.【详解】当截面为三角形时,可能出现正三角形,但不可能出现直角三角形,截面为四边形时,可能出现矩形,平行四边形,等腰梯形,但不可能出现直角梯形;当截面为五边形时,不可能出现正五边形;截面为六边形时,可能出现正六边形,故选:ABC.【典例2】已知正四棱柱AbeOA4GA中,BE=*=2,AAB=3AAif则该四棱柱被过点A,c,E的平面截得的截面面积为.【答案】1219【分析】在。A上取点尸,使得A尸=2,连接A
5、EC广,则四边形AECF是平行四边形,由勾股定理可得AE,CE,,再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意,正四棱柱A6COA4G。中,BE=W=2,4A3=3AA,可得AAl=BBl=CG=8,BE=2,在DR上取点尸,使得DF=2,连接AEC尸,则有A/=CE,A1/CE,所以四边形AEC厂是平行四边形,由勾股定理可得A=62+62=62,CE=22+62=2i,tC=62+6282=234,所以c*言萨=策段患=噂所以SSg得,所以四边形W是平行四边形的面积为AEXECXSinNAEC=6艰2而X甯=12加,故答案为:12M【典例3】如图,在正方体ABa)-ABCa中,ab=4,E
6、为棱BC的中点,尸为棱AA的四等分点(靠近点A),过点AE尸作该正方体的截面,则该截面的周长是.【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点4旦F的正方体的截面,从而求截面的周长.【详解】如图,取GA的中点”,取CG上靠近点G的三等分点G,连接AEGG”,“EE4,易证AEEA”EG,则五边形AEG尸为所求截面.4因为A3=4,所以BE=CE=CIH=DlH=2,AxF=3,DF=l,CG=g,C1G=-则AE=25EG=*GH=巫,HF=EAF=5,故该截面的周长是J3AE+EG + GH + HF + AF =9百+25 + 2而.故答案为:9 + 25 + 2i5【典例4】已知三棱锥A-3
7、Cz)的所有棱长均相等,四个顶点在球O的球面上,平面经过棱AB,ACf5.AD的中点,若平面。截三棱锥A-BS和球。所得的截面面积分别为S,S2,则寸=()33r33r33A.o.V.U.868464;T【答案】B【分析】根据平面截三棱锥A-BCO所得三角形为正三角,即可求出三角形面积及外接圆面积,即可求解.【详解】设平面。截三棱锥A-8C。所得正三角边长为a,截面圆的半径为r,则Sl=立.S1 33S2 6故选:B14由正弦定理可得二=毡。,.a=仃2=皿sin6003-3【题型训练-刷模拟】1.截面形状问题一、单选题1. (2023全国高三专题练习)用一平面去截一长方体,则截面的形状不可能
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- 立体几何 中的 截面 问题