立体几何中球与几何体的切接问题.docx

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1、立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用

2、球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径.【常用结论】接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱长分别为db1C1外接球的半径为R则2R=炳庐信.）,秒杀公式：R2=-J可求出球的半径从而解决问题.有以外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等2-2-72于长方体的体对角线长，即2R=2+从+C?（长方体的长、宽、高分别为纵b、c）.秒杀公式：K?=O（三棱锥的三组对棱长分别为X、八Z）.可求

3、出球的半径从而解决问题.接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是ABC的外心Oi与AiBiC1的外心。2连线的中点，算出小圆Oi的半径AOl=r,00=-i2=r2+.24新接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心。的位置是CBD的外心Oi与4人良5的外心。2连线的中点，算出小圆Oi

4、的半径A0=r,00=AhC朝接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面48UL平面8CD,如类型I,AABC与ABCO都是直角三角形，类型II,ZiABC是等边三角形，ABCD是直角三角形，类型山，AABC与ABCO都是等边三角形，解决方法是分别过AABC与C。的外心作该三角形所在平面的垂线，交点。即为球心.类型W,ZkABC与48CQ都一般三角形，解决方法是过8CZ）的外心Oi作该三角形所在平面的垂线,用代数方法即可解决问题.设三棱锥ABCD的高为儿外接球的半径为R,2=r2+w2,球心为0.BCD的外心为Oi,Oi到BD的距离为d,O与。I的距离为

5、m,则Jy,lzf、，解得R.可R-=d-（h-m内切球思路：以三棱锥PABC为例，求其内切球的半径.方法：等体积法，三棱锥尸一ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；3 VP-八 8C第三步：解出=3V第二步：设内切球的半径为，球心为0,建立等式：Vp-ABC=Vo-ABC-Vo-Vo-PAC-V-PBCP-ABC=So-So-PAB+So-CSo-PBC二、题型精讲精练【典例1（2023浙江高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36万的球面上，则该正四面体的棱长是.【答案】26【解析】如图所示：因为正四面体内接于

6、球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为ABCD-AMGA,则正四面体为A-CBQ,设球的半径为凡则4万/?2=36乃，解得R=3,所以AG=6则正方体的棱长为2右，所以正四面体的棱长为鹤=26,故答案为：2指【典例2】（2023河南开封高中校考模拟预测）已知四面体ABC。中，AB=CD=亦,AC=BD=后,AD=BC=如,则四面体ABCD外接球的体积为（）A.45B.3叵C.竺叵D.24522【答案】C【解析】设四面体ABCQ的外接球的半径为R,则四面体ABCQ在一个长宽高为出加C的长方体中，如图，a2+b2=20, /+不=29,故R a2 +c2 =41,ya2 +b2 +c2 745故

7、四面体ABCD外接球的体积为V=-泅3=S如画=逛,3382故选：C【典例3】（2023黑龙江齐齐哈尔,高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱48C-AqG的所有顶点都在一个表面积是40乃的球面上，且AB=AC=A41,NBAC=I20,则此直三棱柱的表面积是（）A.!6+83B.8+123C.8+l63D.16+123【答案】D【解析】设AB=AC=AA1=2切，因为8AC=120,所以ZACB=30.于是粤7=2厂（，是JWC外接圆的半径），=2怙sn30又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半，所以球的半径为y（2m）2+n2=岛.所以球的表面积为4兀（百”=40,解得=因

8、此AB=AC=AA1=2&,8C=2#.于是直三棱柱的表面积是22222+2622+2i2222sinl20=I6+I23.【典例4】（2023安徽宣城高三统考期末）在三棱锥P-ABC中，ABC是边长为3的等边三角形，侧棱%_L平面A8C,且抬=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为.【答案】28【解析】根据已知，底面.ABC是边长为3的等边三角形，PAjL平面AB（I可得此三棱锥外接球，即以一ABC为底面以外为高的正三棱柱的外接球.设正三棱柱的上下底面的中心分别为M,N,则外接球的球心。为MN的中点，一ABC的外接圆半径为r=AN=233=J,d=ON=gpA=2,322所以球的半径为R=O

9、A=Jy+/=近,所以四面体P-ABC外接球的表面积为S=4?2=28,故答案为：28.【典例5】（2023四川乐山高三期末）已知正AABC边长为1,将以BC绕BC旋转至ADBC,使得平面ABCl平面BCD,则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.【答窠】【解析】如图，取BC中点G,连接AG,DG,则AG_LBC,DGLBC9分别取一ABC与一OBC的外心瓦/分别过E/作平面ABC与平面OBC的垂线，相交于O,则。为四面体A-Ba）的球心，由AB=AC=OB=OC=BC=1,所以正方形。皿的边长为*邛，则。G=择时邛,所以四面体A-58的外接球的半径R=JoG2+商=J圉+0j=股,球。的表面积为

10、4冗故答案为:【典例6】（2023山东滨州高三校考期中）已知正四棱锥P-A8的底面边长为3正，侧棱长为6,则该四棱锥的外接球的体积为.【答案】32后【解析】如图，Pa是正四棱锥P-AeCQ的高，而A8=3,E4=6,则4=丝=正竺=3,PO1=yjPA2-AO;=33,显然正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在直线Pa上，令PO=AO=R,则Oa=I3-R,在RtZXAQO中，R2=AO1=A+0（=32+（33-R）2,解得R=2J,所以该四棱锥的外接球体积为V=gN=g（26）3=32扃.故答案为：32后【典例7（2023高三课时练习）边长为1的正四面体内切球的体积为（）A.典B.叵C.N

11、D.近8126216【答案】D【解析】将棱长为1的正四面体ABCD补成正方体AECr-G8”。，则该正方体的棱长为也,2D设正四面体ABC。的内切球半径为，正四面体A88每个面的面积均为且xF=走,44由等体积法可得%=*=；代诋+S*+S,+SABCD）=争，解得“将因此，该正四面体的内切球的体积为V=g（噂=条兀.故选：D.【题型训练I-刷真题】一、单选题1. （2022全国统考高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为次8和4L其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.l（X）B.128C.144D.192【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，

12、再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小与，所以叵,2与=必即4=3科=4,设球心sin60sin60到上下底面的距离分别为44,球的半径为/?,所以4=刷石，4=/二记，故|4-4|=1或4+&2=1,即|病万一笈一16卜1或病万+痛无=,解得a=25符合题意，所以球的表面积为5=4？2=100.2. （2022全国统考高考真题）己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.-B.；C.BD.也3232【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥

13、的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2/,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】方法一:【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹角为。，则邑”/）=LAC8OsinLAC6wL2r2r=2,八”ttk,u222（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2户又设四棱锥的高为力，则/+川=/,*/JJW）乙9当且仅当/=2/r即邛时等号成立.故选：CI

14、方法二：统一变量+基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为L贝b=也,2所以该四棱锥的高力=F（2223V=L2jZZ=*色工工F，必=逑3V23V442333,327（当且仅当9=1-即=g时，等号成立）所以该四棱锥的体积最大时，其高,?=后=R=岑.故选：C.方法三:利用导数求最值由题意可知当四棱锥为正四棱锥时其体积最大设底面边长为底面所在圆的半径为，则，二v = 设/(/) = 一则所以该四棱锥的高=Fv=r2f令a2=t(0t2),Or09单调递增，r2,f,（r）Of单调递减,所以当/=g时，V最大，此时h=j=*故选：C.【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.3. （2022全国统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同-球面上.若该球的体积为36人且33/,则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.B.27 81TUC.