期权定价模型.docx

《期权定价模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《期权定价模型.docx（21页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、期权定价模型【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。本章要紧介绍了著名的Black-Scholes期权定价模型与由J.Cox、S.Ross与M.Rubinstein三人提出的二叉树模型，并对其经济懂得与应用进行了进一步的讲解。学习完本章，读者应能掌握BIaCk-SChOIeS期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。自从期权交易产生以来，特别是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlackMyronSChoIeS发表期权定价与公司负债I一文，提出了著名的BlaCk-SChOleS期权定价模型，在

2、学术界与实务界引起强烈的反响，SChoIeS并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各类期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J.Cox、S.Ross与M.Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析与探讨2。第一节Black-Scholes期权定价模型一、BIaCk-Scholes期权定价模型的假设条件Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：1 .期权标的资产为一风险资产（BlaCk-SCholeS期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动3,即dSJJ=dt+d

3、z其中，dS为股票价格瞬时变化值，力为极短瞬间的时间变化值，dz为均值为零，方差为力的无穷小的随机变化值（dz=J加，称之标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为LO的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），。则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。与都是已知的。简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称之漂移率，能够被看成一个总体的变 Black, F., and Scholes （1973） i*The Pricing of Options

4、 and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81（ May-June）, p. 637-659从本书难度的设定出发，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其懂得，而不具体推导模型，更深入的 内容可参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出版社,2003.第六章3有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的全面信息，可参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出 版社,2003. 115 页-121 页化趋势；二是随机波动项，即bdz,能够看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。2 .在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1

5、与2,意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。3 .没有交易费用与税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2与3,意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。4 .该标的资产能够被自由地买卖，即同意卖空，且所有证券都是完全可分的。5 .在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者能够此利率无限制地进行借贷。6 .期权为欧式看涨期权，其执行价格为X,当前时刻为I,到期时刻为了。7 .不存在无风险套利机会。二、Black-Scholes期权定价模型(一)BIaCk-SChOIeS期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black与Scholes得到了如下

6、适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：t+ rS2fS2其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。通过解这个微分方程，Black与Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：C = SN即一 XeSN(d2)(11.2)其中,ln(5X)+(r+22)(T-r)T-td=4 -yT-tn(SX)+(r-22)(T-t)证券价格的波动率（。）与无风险利率它们全都是客观变量，独立于主观变量一一风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们能够利用Black-Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个能够大大简化我们工作的简单假设：在对衍生

7、证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下（有的时候我们称之为进入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都能够等于无风险利率r,这是由于风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都能够通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。为了更好地懂得风险中性定价原理，我们能够举一个简单的例子来说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们明白在3个月后，该股票价格要么

8、是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不可能提早执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头与单位的标的股票多头构成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11-0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11-0.5=9=0.25因此，一个无风险

9、组合应包含一份看涨期权空头与0.25股标的股票。不管3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%,则该组合的现值应为：225,io,25=2.19元由于该组合中有一单位看涨期权空头与0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：100.25-/=2.19f=0.31元这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。从该例子能够看出，在确定期权价值时，我们并不需要明白股票价格上涨到11元的概率与下降到9元的概率。但这并不意味着概率能够随心所欲地给定。事实上，只要股

10、票的预期收益率给定，股票上升与下降的概率也就确定了。比如，在风险中性世界中，无风险利率为10%,则股票上升的概率P能够通过下式来求：10=e-o,x0,BIaCk-SehOIeS期权定价模型的具体推导过程参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出版社,2003. 115页-133 页llP+9(l-P)P=62.66%o又如，假如在现实世界中股票的预期收益率为15%,则股票的上升概率能够通过下式来求：10=e-015x0251IP+9(1-P)P=69.11%,可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，不管投资者厌恶风险程度如何，从而不管该股票上

11、升或者下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。3.对期权定价公式的经济懂得。首先，从BIaek-SChOleS期权定价模型自身的求解过程来看I,N(ch)实际上是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此，eS-0XN(d2)是X的风险中性期望值的现值，更朴素地说，能够看成期权可能带来的收入现值。SN(d)=eE)SN(d)是ST的风险中性期望值的现值，能够看成期权持有者将来可能支付的价格的现值。因此整个欧式看涨期权公式就能够被看作期权未来期望回报的现值。其次，A=N(4)=g,显然反映了标的资产变动一个很小的单位时，期权价格的变aS化量；或者者说，假如要

12、避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头，就需要单位的标的资产空头加以保值。事实上，我们在第十二章中将看到，=N(4)是复制交易策略中股票的数量，SN(d)就是股票的市值，eHT-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权能够分拆成资产或者无价值看涨期权(Asset-or-notingcalloption)多头与现金或者无价值看涨期权(cash-or-nothingoption)空头，SN(d)是资产或者无价值看涨期权的价值，-UTmXN(d2)是X份现金或者无价值看涨期权空头的价值。这是由于，关于一个资产或者无价值看涨期权来说，假如标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；假如高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额,根据前文对N)与SN(d)的分析,能够得出该期权的价值为er-S=Xeri-nN(-d2)-SN(d1)(11.3)2 .无收益资产美式期权的定价公式在标的资产无收益情况下，由于C=c,因此式（11.2）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式，但能够用数值方法与解析近似方法求出。3 .有收益资产期权的定价公式到现在为止，我们一直假设