控制工程基础第4章根轨迹法.docx

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1、第四章根轨迹法教学时数：10学时教学目的与要求：1 .正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2 .正确理解和熟记根轨迹方程（模方程及相角方程）。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3 .正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K从零变化到正无穷时的闭环根枕迹。4 .正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。5 .了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则

2、、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。教学难点：根轨迹基本法则及其应用。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。4-1根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180。根轨

3、迹。例子如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：G（三）=-5（0.55+1）H（.Q尸KCG）LS（O5s+l）图4-1二阶系统结构图开环传递函数有两个极点P1=0,p2=-2o没有零点，开环增益为Ko闭环传递函数为：砥S)=C(S) R(S)2K/+2s + 2K闭环特征方程为：O(三)=s2+2s+2K=0闭环特征根为：Sl=-l+l-2T,52=-l-l-2r从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设K=OS1=0,s2=2K=O.5sl=-l,52=-1K=Isl=1+j9s2=-1jK=2.5sl=l+2j,=12jK=+sl=-1+j,s2=-1-j如果把不同K

4、值的闭环特征根布置在S平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹：图4-2二阶系统的根轨迹二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系图4-3控制系统如图所示系统闭环传递函数为:(I)G) =GG)1 + G(s)7(s)(4-4)将前向通道传递函数G(S)表示为:G(S) =KG(GS+ 1)；/ +2芍丁2$ + 1)sv(T.s + )(Ts2+22T2s-)n(ij=K-fl)il(45)KG为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益Kl=KG熬二7*2(4-6)II(IJ)HG)=K专11(s-Pj)j=(4-7)其中K1为反馈通道的根轨迹增益。n(sf)n(S-Zj)II(S-&)n。

5、-勺)G(s)H(s)=VT=K*F口(S-Pi)IIG-Pj)tG-Pi)立(S)r=lr=li=l；=1闭环传递函数：f+hH(s-Za)O(三)=K)宁Il(S-PJI(4-10)式中A，P&分别为闭环零、极点。比较式(4-8)和(4-10)可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成;闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益K有关。根轨迹法的任务就在于已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。三、根轨迹方程闭环特征方程：D(s)=l+G(s)H(s)=O(4-11)闭环极点就是闭环特征方程的

6、解，也称为特征根。根轨迹方程：G(s)H(s)=-l(4-12)式中G(三)H(三)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定这时式(4-12)又可以写成：ri。，)G(s)H(s)=Kb=-1(4-13)IG-Pi)Z=I不难看出，式子为关于S的复数方程，因此，把它分解成模值方程和相角方程。KnISFI模值方程：T三j=1(4-14)立IS-Pil1=1m相角方程ZN(S-4)ZN(S化)=(2&+1)乃k=0,l,2,/=1r=l注意：模值方程不但与开环零、极点有关，与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方

7、程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的K*值。例41已知系统的开环传递函数：G(s)”G)=2K(s+2)2试证明复平面上点5i=-2+/4,邑=-2-/4是该系统的闭环极点。证明：该系统的开环极点：p1=-2,p2=-2它们应满足相角方程(4-15)图4一4 例4- 1开环零、极点分布图以Sl为试验点，观察图4一4,可得：N(Sl-pl)-Z(51-p2)=-90-90=-=-=(2k+)以与为试验点，可得：-Z(5,-p1)-Z(51-p2)=90o+90o=(2+1)t可见：山、与都满足相角方程，所以4、邑点是

8、闭环极点。例4-2已知系统开环传递函数G(s)”G)=K(s+I)当K=08变化时其根轨迹如图4-5,求根轨迹上点Sl=-0.5+/0.5所对应的K值。解 根据模值方程求解K*值,1-0.5 + y.5 + ll4根据图4-5可得：1-0.5+j.5+ll=(,所以K=；。上面两个例子说明如何应用根枕迹方程确定复平面上点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的K*值方法。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益(或其他参数)从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。4-2绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数分支数=开环极点数=闭环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴

9、闭环极点为：实数f在实轴上复数一共规f对称于实轴三、根轨迹的起点与终点起于开环极点，终于开环零点。由根轨迹方程有：Il(SF)=11Il(S-Pi)Z=I起点：K=OS-pi=0s=pi终点：K* =8zi =O S = zi若开环零点数m开环极点数n有(n-m)个开环零点在无穷远处，则有(n-m)条根轨迹终于无穷远点。四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实轴上任取一试验点s代入相角方程则：34ZN(S-G)-ZN(S-Pj)=N(S4)+N(s-Z2)-N(s-P1)=1/=I=兀+兀一兀=兀=Qk+1)兀所以相角方程

10、成立，即S是根轨迹上的点。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式：如满足相角条件必有：(/-h)=Qk+)所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。例4-3设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(三)=K(S+l)s(0.5s+l),求时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式：GG)=2K(s+DS(S+2)按绘制根规迹法则逐步进行：法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、-2,一条终于有限零点一1,另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，0到一1区间和一2到负无穷区间是根轨迹。最后绘制出根轨迹如图4-7所示。PiZPl-1图4-7根轨迹法则五：

11、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：q十In-m“7P1-J渐近线与实轴相交点的坐标为：a=-n-m例4-4已知系统的开环传递函数GG)=K(-1)，试根据法则五，求5(5+4)(?+25+2)出根轨迹的渐近线。解：零点：z=-l,w=l极点：Pl=O,P2=-4,P3=-l+l,P4=-1-Jl,/2=4按照公式得:(2,k V)r (J2k )t (2,k + l)=n-tn4-13(Pa-60(k=0)纥=180=Da=300oa=2)mPi-zi5o=-i三li=n-m3图4-9 几种不同开环传递函数的根轨迹渐近线以卜是几种开环传递函数的根轨迹渐近线:对应的开环传递函数:KKG(

12、三)H(三)=G(s)H(s)=S(S-Pl)S(S-Pl)(5-p2)K*G(s)(s)=G(s)H(s)=-T5S(S-Pl)(S-P2)(-p3)s2G-PI)G-p2)(s-p3)法则六：根轨迹的起始角和终止角根凯迹的终止角是指终止于某开环零点的根筑迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。起始角与终止角计算公式：起始角计算公式：%=(2k+l)+N(PA-Zj)-XN(PK-Pj)j=l=1件knm终止角计算公式：=(2k+l)+ZN(4-pJ-ZN(q-Z)r=l；=1内例45设系统开环传递函数G(三)例(三)=K(s+2+)(s

13、+27),试绘制系统概略根(5+l+72)(5+l-y2)轨迹。解：将开环零、极点画在图4一12的根平面上，逐步画图：K(s+2+)(s+2-/)(s+1+j2)(s+l-2)1、n=2,有两条根轨迹2、两条根轨迹分别起始于开环极点(-l-j2),(j2)；终于开环零点(-2-j),(-2+j)。3、确定起始角，终止角。如图4-13所示。例45根轨迹的起始角和终止角。图4-13例4-5根轨迹的起始角和终止角七、根轨迹的分离点座标d定义：几条(二条)根轨迹在S平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之

14、间至少存在一个会合点。分离点的坐标d可由下面方程求得：”m1Y=Y式中：为各开环零点的数值，为个开环极点的数值。d-pid-zj例46已知系统的开环传递函数G(Ms)=F(s+D,试求闭环系统的根轨迹分s+3s+3.25离点坐标d,并概略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点：p1=-1.5+儿P?=-1.5-Jl按步骤：1、n=2,m=l,有两条根轨迹2、两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点3、实轴上根轨迹位于有限零点一1和无穷零点之间，因此判断有分离点4、离开复平面极点的初始角为=180+夕-=180+116.57-90=206.57PI，仍PiPi=-206.57Pi5、渐近线-2_1.5+y-1.5-Jl1OlI-“2-1(2Z+1)%ei=ta2-16、求分离点