函数对称中心的求解方法探究及应用.docx

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1、函数对称中心的求解方法探究及应用函数的对称性是函数的一个重要性质.充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象.函数的奇偶性就是函数的对称性的特例.如何探求函数的中心对称性呢？为此，本文将函数的中心对称性的探求策略及简单应用，整理如下，以飨读者.一、反比例函数图解法初中数学的学习中，我们接触了一次函数、反比例函数是中心对称图形,自然可以借助于常见的基本初等函数来探求等次分式函数的图象的对称中心.函数/()=黑=温奇(加工历，)图象的两条渐近线方为：X=-,y=-它的对称中心是，2,二.aaVaa)【例1】函数/(x)=El的对称中心是(-2,5

2、),则实数的值是.【解析】/(x)(x+2)+J2=+其对称中心为(一公。)，所以x+2x+2a=5.【评注】上述分式函数通过分离常数，求出函数渐近线方程，这两条渐近线的交点，便是函数图象的对称中心。【变式1】函数/(x)=:言，该函数图象的对称中心是.【解法】/(x)=-2+-,对称中心是(1,2).二、轴对称翻折法遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这就需要借助于相关点法灵活地“转移”，以求解决问题.【例2】已知定义在R上的偶函数/(尤)的图象，满足小+|)=_/(力,判断函数力的对称中心.【解析】设F(X)图象上任意的点P(,y)关于X=；对称点是/怎一北)再绕X

3、轴翻折，得到点P(,.则尸GT,固，)与PaM关于件0)对称;又/卜+)=-(x),所以/(Ir)=-/(),因为“是R上的偶函数，所以/67卜一/(月.必在/()图象上，因此/(X)的对称中心为【评注】条件f卜+=本身不具有中心对称的特点，但是根据”)偶函数，变为/(|一，=_力，根据点的变换即可得到对称中心.当然像这样的规律，除了借助对称图形观察，也可以把他们作为公式记忆，即24)=二(x)说明对称中心就是(,0)【变式2已知函数/(力=(冗+4对任意X有/(2+x)=-(2-X),求/(-3)+/的值。【解析】用2替换人,得f(4-x)=-f(x),可知,函数f(x)关于点(2,0)对称

4、，函数/(x)=(x+)3的对称中心是(-。,0),则a=-2,所以/(-3)+/(3)=-124.【思考1】上面条件/(Q)()说明了函数对称中心是00),具有一般性吗？定义在R上的函数“力满足2-x)=f(x),则函数图像关于%=生产”对称，即点(xj(x)与(2rJ(x)点关于X=。对称，这是大家熟知对称轴的计算公式.卜呻_那么(-XJ(X)关于X轴对称翻折成(勿-x,-(x),：(Q那么点(XJ(X)与(2-x,-f(x)点关于(4,0)中心对称，；此时满足f(2-x)=(x),因此函数满足:c)X-1006x-1005x+1005x+1006则/(x-1007)为奇函数，所以/(x)

5、的图像关于点(-1007,0)对称.所以选B.【变式5已知函数/() 哧 +筌+詈+ x+2012x+2013 则/(0)+/(-2014)=【解析】f(x) = -1 1 1+l x+2 x+31 1+ + 2013+ 2013,令 g(x) = -+ + - + 7 x+ x+2 x+3g(x-1007) =+7+20131+x-1006 a-1005 x1004+总是奇函数，因此g(x)关于(TOO7,0)中心对称,/(x)关于(-1007,2013)中心对称,/(-2014-x) = 4016-(x),令 X = O 得：/(0) + /(-2014) = 4026.所以答案为4026

6、2 cos2【例4】已知函数X)=Ix-I2 2x-1-X,其图像的对称中心是.【解析】化简可得：=1 +Cos(X-I)-JC CoS(X-I) =1X-Ix-1cos(x-l) II而y =.一 1可看成是由yX 1出向右平移一个单位，再向下平XCoSX移一个单位得到，且y=丁一为奇函数，其对称中心为(o,o).故/(力的对称中心(,).【变式6】(2013全国)已知函数/(x)=x3+公2+法+c,下列结论中错误的是().AWwR,/()=0B.函数/()的图象是中心对称图形C.若/是“)的极小值点，则力在区间(-,/)上单调递减D.若/是/()的极值点，则/(o)=O【解析】若c=0,

7、则有/(0)=0,所以A正确.由/(x)=x30r2+bx+cfW(x)-c=x3+or2+hx,因为函数/(力=/+以2+法的对称中心为(0,0),所以，(X)=X+加+bx+c的对称中心为(0,c),所以B正确.由三次函数的图象可知，若小是/(力的极小值点，则极大值点在小的左侧，所以函数在区间(-co,/)单调递减是错误的，D正确.选C.【变式7/(x)=(x-l)31则H)+(-3)+/(O)+/(5)+/(6)=-【解析】力=(XT3+1是由y=F平移得到的,由于y=/是奇函数，图像关于原点对称，因此力的对称中心为(1/)，有F(X)+f(2)=2,所以/(-4)+/(-3)+(0)+

8、/(5)+/(6)=H)(6)(-3)(5)(0)(2)(l)=5x2+1=11.四、导数拐点法【例5】对于三次函数/(x)=r3+Z?x2+cx+d(w),给出定义:设,(x)是函数y=(x)的导数，/(x)是广(力的导数,若方程/(6=O有实数解为,则称点(J(Xo)为函数y=(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题：任意三次函数的图像都关于点(-22对称；I3JI3a)存在三次函数y=(x),/(力=0有实数解与,点(xJK)为函数y=()的图像的对称中心；存在三次函数的图像有两

9、个及两个以上对称中心；若函数g(x)=g一;2+3-A+cos(-il),贝IJ+N煞)=1006其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).【解析】对于明显正确；对于，任意的三次函数满足/(X)=6r+3,而/(x)=0只有一个根，所以任意三次函数的图像只有一个对称中心J2j.错；I3I3a)J对于，=-X3-X2+3x-,U(X)=COS,则3212vfI2)(x)=2x-l,所以(x)的图像关于点对称，同理，函数U(X)的图像关于点对称，所以wf n+wf nIk 2013； 2013j(2012、 ( 1 A ( 2 + U + V + V +V2013j 12013 J U0

10、13J V120122013 J=1006=10062l=2012,错._(k2013j(20131故正确命题的序号为.【评注】三次函数的对称中心的横坐标实质上即为其二阶导函数的零点。这个结论可以在一些客观题中直接使用。若函数/()在定义域。内存在二阶导数，则“函数/(式)图像关于点(见力)对称”的必要不充分条件是“/(4)=0”.因为函数/(x)图像关于点(。对称，等价于/(x)+(24r)=2b对一切xO恒成立，两边对X求导得r(x)-(24-X)=O,再对X求导/(x)+*(26T-x)=0,令X=。代入即得ff(a)=0.但是，方程/(x)=0的解未必是对称中心的横坐标，须加以检验，如

11、/(x)=x4,其二阶导数/(x)=12f的解就不是对称中心的横坐标.【例6】对于三次函数/(x)=r3+x2+cr+J(t70),5C/(力是r(x)的导数，若方程/(x)=0有实数解与,则称点(uJ(xo)为函数y=()的“拐点”.某同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.根据这一发现，对于函数8(%)=2丁-6x2+3x+2+2013sin(x-l),则g(-201l)+g(-2010)+g(2012)+g(2013)的值为.【解析】g(x)=6x2-12x+3+2013cos(x-l),gM(x)=12x-12-2013sin(x-l)；当AO=I时，g(/)=0，则(%,g(%)=(l,l).因此有g(x)+g(2-x)=2,那么g(-2011)+g(2013)=(-2010)+(2012)=2;利用倒序相加法得到：S=g(-201l)+g(2010)+